Sejam f, g, h: R -> R com f(x) = 2 x + 1. Encontre g e h tais que:
(a) f(g(x)) = 5 x - 2;
(b) h(f(x)) = 4x - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função e pede para encontrar outras duas funções, e , que, quando compostas com , resultam em funções específicas. Vamos precisar entender como funciona a composição de funções e como resolver equações envolvendo funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é composição de funções. Se você tem duas funções e , a composição significa que você aplica primeiro e depois aplica no resultado de . No nosso caso, queremos que .

Passo 3

Sabemos que . Vamos substituir na função :
E sabemos que isso deve ser igual a :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 5

Pronto, encontramos a função . Vamos agora para a parte (b), onde precisamos encontrar tal que .

Passo 6

Novamente, usando a composição de funções, substituímos na função :
E isso deve ser igual a :

Passo 7

Agora, vamos expressar em termos de uma variável genérica. Vamos chamar . Então, podemos reescrever a equação como:
Aqui, isolamos em termos de para expressar .

Passo 8

Simplificando a equação:
Então, a função é:

Resposta

As funções que satisfazem as condições são:
e

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