Sejam
com
. Encontre
e
tais que:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função
e pede para encontrar outras duas funções,
e
, que, quando compostas com
, resultam em funções específicas. Vamos precisar entender como funciona a composição de funções e como resolver equações envolvendo funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é composição de funções. Se você tem duas funções
e
, a composição
significa que você aplica
primeiro e depois aplica
no resultado de
. No nosso caso, queremos que
.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos substituir
na função
:
E sabemos que isso deve ser igual a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 5
Pronto, encontramos a função
. Vamos agora para a parte (b), onde precisamos encontrar
tal que
.
Passo 6
Novamente, usando a composição de funções, substituímos
na função
:
E isso deve ser igual a
:
Passo 7
Agora, vamos expressar
em termos de uma variável genérica. Vamos chamar
. Então, podemos reescrever a equação como:
Aqui, isolamos
em termos de
para expressar
.
Passo 8
Simplificando a equação:
Então, a função
é:
Resposta
As funções que satisfazem as condições são:
e
Exercícios relacionados
Mostre que
e
são inversas uma da outra:
(a) ;
(b) , para
;
© .
(a)
(b)
©
Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Se
é uma função par e ímpar ao mesmo tempo o que pode dizer sobre
?
Classifique como par, ímpar ou nenhuma das duas coisas as seguintes funções:
(a)
(b) ,
© ,
(d) .
(a)
(b)
©
(d)