Sejam com . Encontre e tais que:
(a) ;
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função e pede para encontrar outras duas funções, e , que, quando compostas com , resultam em funções específicas. Vamos precisar entender como funciona a composição de funções e como resolver equações envolvendo funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é composição de funções. Se você tem duas funções e , a composição significa que você aplica primeiro e depois aplica no resultado de . No nosso caso, queremos que .

Passo 3

Sabemos que . Vamos substituir na função :
E sabemos que isso deve ser igual a :

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, subtraímos 1 de ambos os lados:
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 5

Pronto, encontramos a função . Vamos agora para a parte (b), onde precisamos encontrar tal que .

Passo 6

Novamente, usando a composição de funções, substituímos na função :
E isso deve ser igual a :

Passo 7

Agora, vamos expressar em termos de uma variável genérica. Vamos chamar . Então, podemos reescrever a equação como:
Aqui, isolamos em termos de para expressar .

Passo 8

Simplificando a equação:
Então, a função é:

Resposta

As funções que satisfazem as condições são:
e

Exercícios relacionados

Mostre que e são inversas uma da outra:
(a) ;
(b) , para ;
© .
Determine se as seguintes funções são injetóras:
(a)
(b)
© .
Se é uma função par e ímpar ao mesmo tempo o que pode dizer sobre ?
Classifique como par, ímpar ou nenhuma das duas coisas as seguintes funções:
(a)
(b) ,
© ,
(d) .