Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© T: R^4 R^2 definida por T(x, y, z, t)=(2 x+y-z+t, x+y-3 z).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . O conteúdo da matéria aqui é Transformações Lineares. Para resolver, precisamos verificar se a função satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e em , a função deve satisfazer:
Vamos considerar e .

Passo 3

Calculando T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1 + t2) = (2(x1 + x2) + (y1 + y2) - (z1 + z2) + (t1 + t2),; (x1 + x2) + (y1 + y2) - 3(z1 + z2)) :
= (2x1 + 2x2 + y1 + y2 - z1 - z2 + t1 + t2, x1 + x2 + y1 + y2 - 3z1 - 3z2)
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculando T(x1, y1, z1, t1) + T(x2, y2, z2, t2) = (2x1 + y1 - z1 + t1, x1 + y1 - 3z1) + (2x2 + y2 - z2 + t2, x2 + y2 - 3z2) :
= (2x1 + y1 - z1 + t1 + 2x2 + y2 - z2 + t2,; x1 + y1 - 3z1 + x2 + y2 - 3z2)
Somando componente a componente:

Passo 5

Comparando os resultados dos Passos 3 e 4, vemos que:
T(u + v) = T(u) + T(v)
Portanto, a função satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 6

A segunda propriedade é a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer vetor T(cu) = cT(u) em e qualquer escalar , a função deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados.

Passo 7

Calculando T(cx, cy, cz, ct) = (2(cx) + cy - cz + ct, cx + cy - 3cz) :
= (c(2x + y - z + t), c(x + y - 3z))
Simplificando:

Passo 8

Agora, calculando cT(x, y, z, t) = c(2x + y - z + t, x + y - 3z) = (c(2x + y - z + t), c(x + y - 3z)) :

Passo 9

Comparando os resultados dos Passos 7 e 8, vemos que:
T(cu) = cT(u)
Portanto, a função também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

A função definida por é uma transformação linear.

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