Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
©
definida por
.
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. O conteúdo da matéria aqui é Transformações Lineares. Para resolver, precisamos verificar se a função
satisfaz duas propriedades fundamentais das transformações lineares: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
A primeira propriedade que vamos verificar é a aditividade. Isso significa que, para quaisquer vetores
e
em
, a função
deve satisfazer:
Vamos considerar
e
.
Passo 3
Calculando
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculando
:
Somando componente a componente:
Passo 5
Comparando os resultados dos Passos 3 e 4, vemos que:
Portanto, a função
satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 6
A segunda propriedade é a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, a função
deve satisfazer:
Vamos calcular ambos os lados.
Passo 7
Calculando
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, calculando
:
Passo 9
Comparando os resultados dos Passos 7 e 8, vemos que:
Portanto, a função
também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Resposta
A função
definida por
é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) definida por
.
(b)
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© definida por
.
©
Nos Exercícios de 1 a 6, determine quais equaçōes sāo lineares nas variáveis
, y e
. Se alguma equação não for linear, explique o motivo.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)