Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z)=(2 x+y, x+2 y, x+2 y+z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como podemos testar se uma função atende a esses critérios.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva duas operações fundamentais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Em termos mais simples:
  1. Preserva a adição: para quaisquer vetores e .
  2. Preserva a multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
Se a função satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.

Passo 3

Vamos verificar se T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) preserva a adição. Seja = (2(x1 + x2) + (y1 + y2), ; (x1 + x2) + 2(y1 + y2), ; (x1 + x2) + 2(y1 + y2) + (z1 + z2)) e = (2x1 + 2x2 + y1 + y2, ; x1 + x2 + 2y1 + 2y2, ; x1 + x2 + 2y1 + 2y2 + z1 + z2) . Então:
T(u) = (2x1 + y1, ; x1 + 2y1, ; x1 + 2y1 + z1)
T(v) = (2x2 + y2, ; x2 + 2y2, ; x2 + 2y2 + z2)
T(u) + T(v) = (2x1 + y1 + 2x2 + y2, ; x1 + 2y1 + x2 + 2y2, ; x1 + 2y1 + z1 + x2 + 2y2 + z2)
Agora, vamos calcular :
Observamos que . Isso mostra que preserva a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se T(cu) = T(cx, cy, cz) preserva a multiplicação por escalar. Seja = (2(cx) + cy, ; cx + 2(cy), ; cx + 2(cy) + cz) um escalar e = (c(2x + y), ; c(x + 2y), ; c(x + 2y + z)) . Então:
= c cdot (2x + y, ; x + 2y, ; x + 2y + z)
= c cdot T(u)
Isso mostra que , ou seja, preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a função preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.

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