Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b)
definida por
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como podemos testar se uma função atende a esses critérios.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva duas operações fundamentais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Em termos mais simples:
- Preserva a adição:
para quaisquer vetores e . - Preserva a multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Se a função
satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.
Passo 3
Vamos verificar se
preserva a adição. Seja
e
. Então:
Agora, vamos calcular
:
Observamos que
. Isso mostra que
preserva a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação por escalar. Seja
um escalar e
. Então:
Isso mostra que
, ou seja,
preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como a função
preserva tanto a adição de vetores quanto a multiplicação por escalar, ela é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© definida por
.
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Os seguintes subconjuntos são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© definida por
.
©
Nos Exercícios de 1 a 6, determine quais equaçōes sāo lineares nas variáveis
, y e
. Se alguma equação não for linear, explique o motivo.