Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
©
definida por
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Ou seja, precisamos verificar se essa função satisfaz as propriedades de uma transformação linear, que são:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar .
Vamos verificar essas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja
e
. Então,
Calculando cada componente:
Agora, vamos calcular
:
Comparando as duas expressões, vemos que são iguais:
Então, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a propriedade da homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Novamente, vemos que as duas expressões são iguais:
Portanto, a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da homogeneidade, ela é uma transformação linear.
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Os seguintes subconjuntos são subespaços do espaço vetorial
? Justifique.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(a) definida por
.
(a)
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) definida por
.
(b)
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© definida por
.
©