Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
© T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(2 x, x-y, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a função definida por é uma transformação linear. Ou seja, precisamos verificar se essa função satisfaz as propriedades de uma transformação linear, que são:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar .
Vamos verificar essas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) e T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2), (x1 + x2) - (y1 + y2), y1 + y2) . Então,
= (2x1 + 2x2, x1 + x2 - y1 - y2, y1 + y2)
Calculando cada componente:
T(u) + T(v) = (2x1, x1 - y1, y1) + (2x2, x2 - y2, y2)
= (2x1 + 2x2, x1 - y1 + x2 - y2, y1 + y2)
Agora, vamos calcular T(u + v) = T(u) + T(v) :
Comparando as duas expressões, vemos que são iguais:
Então, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade da homogeneidade. Seja T(kx, ky) = (2(kx), kx - ky, ky) = (2k x, k(x - y), k y) um escalar qualquer e kT(u) = k(2x, x - y, y) = (2k x, k(x - y), k y) .
Calculando T(ku) = kT(u) :
Agora, calculando :
Novamente, vemos que as duas expressões são iguais:
Portanto, a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a propriedade da adição quanto a da homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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© T: R^4 R^2 definida por T(x, y, z, t)=(2 x+y-z+t, x+y-3 z).