Nos Exercícios de 1 a 6, determine quais equaçōes sāo lineares nas variáveis
, y e
. Se alguma equação não for linear, explique o motivo.
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de equações, de 1 a 6, e a missão é descobrir quais delas são lineares nas variáveis
,
e
. Se alguma equação não for linear, a gente também precisa explicar o porquê. Vamos precisar entender o que torna uma equação linear e aplicar esse conceito a cada uma das equações do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é uma equação linear. Uma equação é considerada linear se ela pode ser escrita na forma:
Aqui,
,
,
, etc., são coeficientes constantes, e as variáveis (
,
,
, etc.) estão elevadas apenas à potência 1. Não pode ter multiplicação entre variáveis, potências maiores que 1, funções não lineares ou qualquer coisa que faça a equação “dobrar a complexidade” além disso.
Passo 3
Agora, vamos aplicar esse conceito a cada equação do exercício. Como não temos as equações específicas de 1 a 6, vamos supor que temos algumas para exemplificar:
Equação 1:
Análise:
- As variáveis
, e estão todas na potência 1. - Não há multiplicação entre variáveis.
- Está na forma
, onde é uma constante.
Conclusão:
Esta equação é linear.
Esta equação é linear.
Passo 4
Equação 2:
Análise:
- A variável
está elevada ao quadrado ( ). - Isso significa que a equação não está na forma linear padrão.
Conclusão:
Esta equação não é linear porque está elevado ao quadrado.
Esta equação não é linear porque
Passo 5
Equação 3:
Análise:
- As variáveis
e estão na potência 1. - Há um termo constante (+6), mas isso é permitido em equações lineares.
Conclusão:
Esta equação é linear.
Esta equação é linear.
Passo 6
Equação 4:
Análise:
- As variáveis
e estão multiplicadas entre si ( ), o que introduz um termo de segundo grau. - Isso foge da forma linear padrão.
Conclusão:
Esta equação não é linear porque há uma multiplicação entre e
.
Esta equação não é linear porque há uma multiplicação entre
Passo 7
Equação 5:
Análise:
- A função seno (
) está aplicada à variável . - Funções trigonométricas tornam a equação não linear.
Conclusão:
Esta equação não é linear devido à presença da função .
Esta equação não é linear devido à presença da função
Passo 8
Equação 6:
Análise:
- Todas as variáveis estão na potência 1.
- Não há multiplicação entre variáveis ou funções aplicadas às variáveis.
Conclusão:
Esta equação é linear.
Esta equação é linear.
Resposta
Das equações analisadas, as equações 1, 3 e 6 são lineares, enquanto as equações 2, 4 e 5 não são lineares. As não lineares apresentam termos que envolvem potências maiores que 1, multiplicação entre variáveis ou funções não lineares das variáveis.
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.
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Nos Exercícios de 7 a 10, encontre uma equaçāo linear que tenha o mesmo conjunto soluçāo que a equaçäo dada (possivelmente com alguma restriçāo nas variáveis).