Nos Exercícios de 1 a 6, determine quais equaçōes sāo lineares nas variáveis x, y e z. Se alguma equação não for linear, explique o motivo.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de equações, de 1 a 6, e a missão é descobrir quais delas são lineares nas variáveis , e . Se alguma equação não for linear, a gente também precisa explicar o porquê. Vamos precisar entender o que torna uma equação linear e aplicar esse conceito a cada uma das equações do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos falar rapidinho sobre o que é uma equação linear. Uma equação é considerada linear se ela pode ser escrita na forma:
a1x + a2y + a3z + dots + an = 0
Aqui, , , , etc., são coeficientes constantes, e as variáveis ( , , , etc.) estão elevadas apenas à potência 1. Não pode ter multiplicação entre variáveis, potências maiores que 1, funções não lineares ou qualquer coisa que faça a equação “dobrar a complexidade” além disso.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse conceito a cada equação do exercício. Como não temos as equações específicas de 1 a 6, vamos supor que temos algumas para exemplificar:
Equação 1:
2x + 3y - z = 5
Análise:
  • As variáveis , e estão todas na potência 1.
  • Não há multiplicação entre variáveis.
  • Está na forma , onde é uma constante.
Conclusão:
Esta equação é linear.

Passo 4

Equação 2:
x^2 + y - 3z = 7
Análise:
  • A variável está elevada ao quadrado ( ).
  • Isso significa que a equação não está na forma linear padrão.
Conclusão:
Esta equação não é linear porque está elevado ao quadrado.

Passo 5

Equação 3:
4x - 5y + 6 = 0
Análise:
  • As variáveis e estão na potência 1.
  • Há um termo constante (+6), mas isso é permitido em equações lineares.
Conclusão:
Esta equação é linear.

Passo 6

Equação 4:
3x + 2y cdot z = 10
Análise:
  • As variáveis e estão multiplicadas entre si ( ), o que introduz um termo de segundo grau.
  • Isso foge da forma linear padrão.
Conclusão:
Esta equação não é linear porque há uma multiplicação entre e .

Passo 7

Equação 5:
sin(x) + y - z = 4
Análise:
  • A função seno ( ) está aplicada à variável .
  • Funções trigonométricas tornam a equação não linear.
Conclusão:
Esta equação não é linear devido à presença da função .

Passo 8

Equação 6:
7x - 8y + 9z = -3
Análise:
  • Todas as variáveis estão na potência 1.
  • Não há multiplicação entre variáveis ou funções aplicadas às variáveis.
Conclusão:
Esta equação é linear.

Resposta

Das equações analisadas, as equações 1, 3 e 6 são lineares, enquanto as equações 2, 4 e 5 não são lineares. As não lineares apresentam termos que envolvem potências maiores que 1, multiplicação entre variáveis ou funções não lineares das variáveis.

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