Usando os limites fundamentais:
lim x 0 sen(x)x=1
e lim x +infty(1+1x)^x=e calcule:
(j) lim n +infty(n+7n+4)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular o limite quando vai para o infinito da expressão . Para resolver isso, vamos usar alguns limites fundamentais que envolvem exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
n + 7n + 4 = n(1 + 7n)n(1 + 4n) = 1 + 7n1 + 4n
Isso ajuda a ver como a expressão se comporta conforme cresce.

Passo 3

Agora, observe que conforme 1 + 7n1 + 4n approx 1 + 01 + 0 = 1 tende ao infinito, os termos e se aproximam de zero. Então, podemos aproximar a fração assim:
Mas queremos saber o limite de , que está na forma .

Passo 4

Vamos reescrever a expressão para evidenciar melhor essa “algo pequeno”:
(n + 7n + 4)^n = (1 + 3n + 4)^n
Aqui, é o termo pequeno que vai pra zero conforme cresce.

Passo 5

Sabemos que:
limn to +infty (1 + kn)^n = e^k
No nosso caso, (1 + 3n + 4)^n approx (1 + 3n)^n . Apesar do limn to +infty (1 + 3n)^n = e^3 no denominador, para muito grande, é praticamente . Então:
Aplicando o limite fundamental:

Resposta

O limite é .

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