Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
© a_n = sen(3*pi/(n^2 + 1)) / n [Convergente, Limite = 0 ]

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma sequência definida por e precisamos determinar se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, também devemos calcular o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Como cresce muito mais rápido que o 1, a fração vai se aproximar de zero conforme aumenta.

Passo 3

Sabemos que quando o ângulo de seno é muito pequeno, ou seja, próximo de zero, podemos usar a aproximação . Então, para valores grandes de , temos:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original da sequência, temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando tende ao infinito:
O denominador cresce sem limites quando aumenta, então a fração inteira vai se aproximar de zero.

Passo 6

Portanto, concluímos que o limite de quando tende ao infinito é zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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