Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
©
[Convergente, Limite
]
©
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma sequência definida por
e precisamos determinar se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, também devemos calcular o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito. Como
cresce muito mais rápido que o 1, a fração
vai se aproximar de zero conforme
aumenta.
Passo 3
Sabemos que quando o ângulo de seno é muito pequeno, ou seja, próximo de zero, podemos usar a aproximação
. Então, para valores grandes de
, temos:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original da sequência, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando
tende ao infinito:
O denominador
cresce sem limites quando
aumenta, então a fração inteira vai se aproximar de zero.
Passo 6
Portanto, concluímos que o limite de
quando
tende ao infinito é zero.
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.
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Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(b) [Convergente, Limite
]
(b)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(a) [Convergente, Limite
(a)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(e) Converge, Limite
(e)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(g) Converge, Limite
(g)