Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(b)
[Convergente, Limite
]
(b)
Passo 1
Oi! Vamos resolver a sequência
. Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência quando
cresce muito, ou seja, quando
tende ao infinito. Queremos ver o que acontece com
nesse cenário.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos racionalizar a expressão
. Isso significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para simplificar.
Passo 4
Multiplicando pelo conjugado, temos:
Passo 5
No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, vamos analisar o denominador
. Para
grande,
é aproximadamente
, então o denominador fica cerca de
.
Passo 7
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero. Portanto,
também tende a zero.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.