Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(b) a_n = n - raiz(n^2 + 1) [Convergente, Limite = 0 ]

Passo 1

Oi! Vamos resolver a sequência . Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da sequência quando cresce muito, ou seja, quando tende ao infinito. Queremos ver o que acontece com nesse cenário.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos racionalizar a expressão . Isso significa multiplicar e dividir pela expressão conjugada para simplificar.

Passo 4

Multiplicando pelo conjugado, temos:

Passo 5

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, vamos analisar o denominador . Para grande, é aproximadamente , então o denominador fica cerca de .

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão de :
Quando tende ao infinito, tende a zero. Portanto, também tende a zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(a) a_n = ln(n^2) / ln(2n) [Convergente, Limite 2
Analise a convergência das seguintes séries:
a) sumn=1^infty n-12 n+1 [Diverge, pelo Teste da Divergência]
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
© a_n = sen(3*pi/(n^2 + 1)) / n [Convergente, Limite = 0 ]
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(e) a_n = n * tan(1/n) Converge, Limite = 1