Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(e) a_n = n * tan(1/n) Converge, Limite = 1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Precisamos descobrir se essa sequência converge (ou seja, tem um limite quando tende ao infinito) ou diverge. Se ela convergir, também devemos calcular o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de quando aumenta. Conforme tende ao infinito, tende a zero. Então, estamos interessados no comportamento de quando se aproxima de zero.

Passo 3

Sabemos que para valores pequenos de (próximos de zero), a função tangente pode ser aproximada por . Essa é uma boa aproximação porque, quando é muito pequeno, as diferenças entre e são mínimas.

Passo 4

Utilizando essa aproximação na nossa sequência, temos:
Isso significa que, conforme fica cada vez maior, se aproxima de 1.

Passo 5

Para confirmar de forma mais rigorosa, podemos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Fazendo a substituição , quando , . Então:
Portanto:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 1.

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(g) a_n = n^(1/n) Converge, Limite = 1
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(h) a_n = 2 + (0,86)^n [Converge, Limite 2