Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(e)
Converge, Limite
(e)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Precisamos descobrir se essa sequência converge (ou seja, tem um limite quando
tende ao infinito) ou diverge. Se ela convergir, também devemos calcular o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades da função tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
aumenta. Conforme
tende ao infinito,
tende a zero. Então, estamos interessados no comportamento de
quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Sabemos que para valores pequenos de
(próximos de zero), a função tangente pode ser aproximada por
. Essa é uma boa aproximação porque, quando
é muito pequeno, as diferenças entre
e
são mínimas.
Passo 4
Utilizando essa aproximação na nossa sequência, temos:
Isso significa que, conforme
fica cada vez maior,
se aproxima de 1.
Passo 5
Para confirmar de forma mais rigorosa, podemos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Fazendo a substituição
, quando
,
. Então:
Portanto:
Resposta
A sequência
é convergente e o seu limite é 1.
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Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
© [Convergente, Limite
]
©
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(b) [Convergente, Limite
]
(b)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(g) Converge, Limite
(g)
Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
(h) [Converge, Limite
(h)