Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumk=1^infty 3^-2 k(-6)^4-k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
sumk=1^infty 3^-2k(-6)^4-k
O conteúdo que vamos usar aqui é Séries Geométricas e Convergência de Séries. Precisamos identificar se essa série é geométrica e, se for, verificar se ela converge. Se convergir, calculamos a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série para ver se conseguimos colocá-la na forma de uma série geométrica. A série geométrica tem a forma:
sumk=0^infty ar^k
onde 3^-2k(-6)^4-k = 3^-2k(-6)^4 cdot (-6)^-k = 3^-2k cdot (-6)^k(-6)^4 é o primeiro termo e é a razão.
Vamos simplificar o termo geral da nossa série:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que 3^-2k cdot (-6)^k(-6)^4 = 3^-2k cdot (-1)^k cdot 6^k(-6)^4 , então:
3^-2k cdot (-1)^k cdot 3^k cdot 2^k(-6)^4 = (-1)^k cdot 3^-k cdot 2^k(-6)^4
Vamos reescrever como :

Passo 4

Agora, simplificamos 3^-k cdot 2^k = (23)^k :
(-1)^k cdot (23)^k(-6)^4 = (-1 cdot 23)^k(-6)^4 = (-23)^k(-6)^4
Então, nosso termo geral fica:

Passo 5

Agora, podemos reescrever a série inteira usando essa simplificação:
sumk=1^infty (-23)^k(-6)^4 = 1(-6)^4 sumk=1^infty (-23)^k
Perceba que temos uma constante multiplicando uma série geométrica.

Passo 6

Vamos analisar a série geométrica . Para uma série geométrica , ela converge se . Aqui, e , então a série converge.

Passo 7

Como a série converge, podemos calcular a soma. A soma de uma série geométrica começando em sumk=1^infty r^k = r1 - r é:
sumk=1^infty (-23)^k = -231 - (-23) = -231 + 23 = -2353 = -25
No nosso caso, , então:

Passo 8

Não esqueçamos da constante que tínhamos fora da série:
1(-6)^4 cdot (-25) = 11296 cdot (-25) = -26480 = -13240

Resposta

A série é convergente e a soma dela é .

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