Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
O conteúdo que vamos usar aqui é Séries Geométricas e Convergência de Séries. Precisamos identificar se essa série é geométrica e, se for, verificar se ela converge. Se convergir, calculamos a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os termos da série para ver se conseguimos colocá-la na forma de uma série geométrica. A série geométrica tem a forma:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Vamos simplificar o termo geral da nossa série:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que
, então:
Vamos reescrever
como
:
Passo 4
Agora, simplificamos
:
Então, nosso termo geral fica:
Passo 5
Agora, podemos reescrever a série inteira usando essa simplificação:
Perceba que temos uma constante multiplicando uma série geométrica.
Passo 6
Vamos analisar a série geométrica
. Para uma série geométrica
, ela converge se
. Aqui,
e
, então a série converge.
Passo 7
Como a série converge, podemos calcular a soma. A soma de uma série geométrica começando em
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 8
Não esqueçamos da constante que tínhamos fora da série:
Resposta
A série é convergente e a soma dela é
.