Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela parábola por
e pela reta
torno:
Da reta
Da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pela parábola
e pela reta
em torno da reta
. Isso envolve cálculo de integrais e o método dos discos ou anéis (washers).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a parábola e a reta se intersectam para saber os limites de integração. Igualando
e
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região que vai girar em torno da reta
. Como estamos girando em torno de uma reta horizontal, o método dos anéis (washers) é o mais adequado. A ideia é calcular a área de cada anel resultante da rotação e integrar ao longo do intervalo de
a
.
Passo 4
Para aplicar o método dos anéis, precisamos identificar o raio externo e o raio interno de cada anel. O raio externo é a distância da curva superior (reta
) até a reta de rotação
:
O raio interno é a distância da curva inferior (parábola
) até a reta de rotação
:
Passo 5
A área de cada anel é dada pela diferença das áreas dos círculos externo e interno:
Simplificando:
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos a área do anel de
a
:
Podemos fatorar
:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Avaliada de
a
:
Simplificando:
Calculando os termos:
Resposta
Então, o volume do sólido é: