Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pela parábola por y = x^2 e pela reta y = 1 em torno:
Da reta y = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pela parábola e pela reta em torno da reta . Isso envolve cálculo de integrais e o método dos discos ou anéis (washers).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a parábola e a reta se intersectam para saber os limites de integração. Igualando e :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que vai girar em torno da reta . Como estamos girando em torno de uma reta horizontal, o método dos anéis (washers) é o mais adequado. A ideia é calcular a área de cada anel resultante da rotação e integrar ao longo do intervalo de a .

Passo 4

Para aplicar o método dos anéis, precisamos identificar o raio externo e o raio interno de cada anel. O raio externo é a distância da curva superior (reta ) até a reta de rotação :
O raio interno é a distância da curva inferior (parábola ) até a reta de rotação :

Passo 5

A área de cada anel é dada pela diferença das áreas dos círculos externo e interno:
Simplificando:

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos a área do anel de a :
Podemos fatorar :

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Avaliada de a :
Simplificando:
Calculando os termos:

Resposta

Então, o volume do sólido é:

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