Encontre o valor médio da função
na região anular
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos achar o valor médio da função
numa região anular, que é basicamente uma faixa entre dois círculos com raios
e
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de funções de duas variáveis e coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos ou discos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função numa região
. A fórmula geral é:
Neste caso, nossa região
é a área anular
. Como estamos lidando com círculos, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde
e
. Além disso, em coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares. Temos:
Então, a integral dupla para o valor médio fica:
Aqui,
é a nossa função e
é o novo elemento de área em coordenadas polares.
Passo 4
Simplificando a integral, observamos que
. Assim, a integral se torna:
Agora, vamos calcular a área da região
. Como é uma área anular entre dois círculos, a área é a diferença entre as áreas dos dois círculos:
Passo 5
Voltando à integral, vamos resolvê-la:
Então, a integral dupla vale
.
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do valor médio:
Esse pode ser simplificado ainda mais:
Resposta
O valor médio da função na região anular é
.
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule o valor de cada limite a seguir, se existir:
c)
c)
Dada a função
Esta função é contínua para
? Justifique sua resposta utilizando a Definição 3.8 da apostila.
Dada a função
Esta função é contínua para
? Justifique sua resposta utilizando a Definição 3.8 da apostila.