Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
15.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou não. Se ela convergir, vamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:
Passo 3
Agora, vamos quebrar os termos para facilitar. Sabemos que:
Substituindo na expressão:
Passo 4
A série agora está na forma de uma série geométrica:
Aqui, a razão da série geométrica é .
Passo 5
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso:
Portanto, a série converge.
Passo 6
Para encontrar a soma de uma série geométrica que começa em , usamos a fórmula: