Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
15.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou não. Se ela convergir, vamos calcular o valor da soma. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos:

Passo 3

Agora, vamos quebrar os termos para facilitar. Sabemos que:
Substituindo na expressão:

Passo 4

A série agora está na forma de uma série geométrica:
Aqui, a razão da série geométrica é .

Passo 5

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso:
Portanto, a série converge.

Passo 6

Para encontrar a soma de uma série geométrica que começa em , usamos a fórmula:
Onde é o primeiro termo da série. No nosso caso:

Passo 7

Agora, vamos calcular a soma:

Resposta

A série converge e a soma é .

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