Verifique se a integral imprópria converge ou diverge:
, integral indo de e a + infinito.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a integral imprópria
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias que têm limites infinitos. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar se essa integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem limite).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Quando temos uma integral com um dos limites indo para o infinito, como nesta, precisamos verificar o comportamento da função integranda nesse intervalo. Se o resultado dessa análise for um número finito, dizemos que a integral converge; caso contrário, diverge.
Passo 3
Vamos reescrever a integral de forma mais clara:
Queremos encontrar o valor dessa integral ou determinar se ela não tem limite.
Passo 4
Para resolver integrais como essa, uma técnica útil é a substituição. Vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Isso implica que
ou
.
Passo 5
Agora, expressamos
em termos de
. Já que
, temos
. Substituindo na integral:
Simplificamos para:
Passo 6
Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando:
Passo 7
Agora, retornamos à variável original
. Lembrando que
e
:
Passo 8
Para avaliar a integral definida de
a
, calculamos o limite:
Avaliação no limite:
Sabemos que
, então:
O termo
tende a zero à medida que
vai para o infinito, porque o crescimento de
no denominador supera o crescimento logarítmico no numerador.
Passo 9
Portanto, o resultado da integral é:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.
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,
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;
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entre os pontos
e
.
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15.)
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