Encontre a solução do PVI:
.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI). A equação diferencial é
, e temos duas condições iniciais:
e
. Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e técnicas para resolver essas equações, como encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Isso significa que ignoramos o lado direito (o
) e resolvemos
.
Para resolver, assumimos uma solução da forma
. Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando
(que nunca é zero):
Então, as soluções para
são
e
.
Passo 3
Agora, a solução geral da parte homogênea é dada por:
Simplificando:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, que é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular também polinomial.
Vamos supor:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não faz sentido, porque o lado esquerdo é constante e o direito é linear. Então, precisamos tentar uma forma diferente. Vamos tentar:
Mas já vemos que não funciona. Então, aumentamos o grau do polinômio:
Parece que estamos presos, então vamos usar o método dos coeficientes indeterminados corretamente.
Passo 5
Na verdade, a forma correta para a solução particular quando o lado direito é
e não está na solução homogênea é:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso implica que:
O que não é possível, já que A é uma constante. Então, precisamos modificar nossa suposição para incluir termos que não colidem com a solução homogênea. Vamos tentar:
E ver onde isso nos leva.
Ao substituir, vimos que não funciona, então a solução particular deve ser do tipo:
Mas ainda assim, não conseguimos. Portanto, vamos tentar uma solução particular do tipo:
Desculpa pela confusão! Vamos ajustar a abordagem.
Passo 6
Na verdade, o erro foi tentar uma solução particular que já está na solução homogênea. Então, vamos tentar multiplicar por
:
Agora, derivando:
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
- Para
: → - Para constantes:
→ → →
Passo 7
Então, nossa solução particular é:
Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, temos
:
Isso nos dá a primeira equação:
Em seguida, derivamos
para usar a segunda condição
:
Então:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 9
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Resposta
A solução do PVI é:
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