Encontre a solução do PVI: y'' + 4y' = t, y(0) = 1, y'(0) = 1.

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI). A equação diferencial é , e temos duas condições iniciais: e . Vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e técnicas para resolver essas equações, como encontrar a solução geral da parte homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Isso significa que ignoramos o lado direito (o ) e resolvemos .
Para resolver, assumimos uma solução da forma . Derivando, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Fatorando (que nunca é zero):
Então, as soluções para são e .

Passo 3

Agora, a solução geral da parte homogênea é dada por:
Simplificando:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é , que é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular também polinomial.
Vamos supor:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso não faz sentido, porque o lado esquerdo é constante e o direito é linear. Então, precisamos tentar uma forma diferente. Vamos tentar:
Mas já vemos que não funciona. Então, aumentamos o grau do polinômio:
Parece que estamos presos, então vamos usar o método dos coeficientes indeterminados corretamente.

Passo 5

Na verdade, a forma correta para a solução particular quando o lado direito é e não está na solução homogênea é:
Derivando:
Substituindo na equação:
Isso implica que:
O que não é possível, já que A é uma constante. Então, precisamos modificar nossa suposição para incluir termos que não colidem com a solução homogênea. Vamos tentar:
E ver onde isso nos leva.
Ao substituir, vimos que não funciona, então a solução particular deve ser do tipo:
Mas ainda assim, não conseguimos. Portanto, vamos tentar uma solução particular do tipo:
Desculpa pela confusão! Vamos ajustar a abordagem.

Passo 6

Na verdade, o erro foi tentar uma solução particular que já está na solução homogênea. Então, vamos tentar multiplicar por :
Agora, derivando:
Substituindo na equação:
Agora, igualamos os coeficientes de termos semelhantes:
  • Para :
  • Para constantes:

Passo 7

Então, nossa solução particular é:
Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, temos :
Isso nos dá a primeira equação:
Em seguida, derivamos para usar a segunda condição :
Então:
Isso nos dá a segunda equação:

Passo 9

Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do PVI é:

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