Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo
, da curva dada por
onde
.
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo! Você precisa encontrar a área da superfície gerada quando a curva
gira em torno do eixo
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma curva em torno de um eixo para formar uma superfície. Imagine que você tem a curva
e a gira em torno do eixo
. Isso cria uma forma tridimensional, e queremos calcular a área dessa superfície.
Passo 3
Para encontrar a área da superfície de revolução, usamos a fórmula:
Aqui,
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Passo 6
Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando substituição. Seja
, então:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da superfície de revolução é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução do PVI:
.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
15.)
15.)
Calcule o comprimento da curva Hipociclóide dada pela equação paramétrica
e
.
Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo
, da curva dada por
onde