Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo -y, da curva dada por x = g(y) = y^3
onde 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo! Você precisa encontrar a área da superfície gerada quando a curva gira em torno do eixo no intervalo de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma curva em torno de um eixo para formar uma superfície. Imagine que você tem a curva e a gira em torno do eixo . Isso cria uma forma tridimensional, e queremos calcular a área dessa superfície.

Passo 3

Para encontrar a área da superfície de revolução, usamos a fórmula:
Aqui, , e os limites de integração são de a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula da área:

Passo 6

Essa integral pode parecer complicada, mas vamos simplificar usando substituição. Seja , então:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

A área da superfície de revolução é:
á

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