Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes
(a) sumn=1^infty n^25 n^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre convergência de séries e aplicar o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor seu comportamento quando n^25n^2 + 4 cresce. Temos:
15 + 4n^2
Dividindo o numerador e o denominador por , ficamos com:
Quando fica bem grande, se aproxima de 0, então a expressão se aproxima de . Isso significa que os termos da nossa série não estão desaparecendo, o que já é um indicativo importante.

Passo 3

Para concluir se a série converge ou diverge, vamos lembrar de um teste básico: se o limite dos termos da série não é zero, a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral quando limn to infty n^25n^2 + 4 = limn to infty 15 + 4n^2 = 15 + 0 = 15 neq 0 tende ao infinito:

Resposta

Como o limite dos termos da série não é zero ( ), a série é divergente.

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