Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre convergência de séries e aplicar o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender melhor seu comportamento quando
cresce. Temos:
Dividindo o numerador e o denominador por
, ficamos com:
Quando
fica bem grande,
se aproxima de 0, então a expressão se aproxima de
. Isso significa que os termos da nossa série não estão desaparecendo, o que já é um indicativo importante.
Passo 3
Para concluir se a série converge ou diverge, vamos lembrar de um teste básico: se o limite dos termos da série não é zero, a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral quando
tende ao infinito:
Resposta
Como o limite dos termos da série não é zero (
), a série
é divergente.