Encontre a soma
(d) sumn=0^infty e^-n / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma infinita . O conteúdo que precisamos aqui é série geométrica. Vamos usar algumas fórmulas básicas para encontrar a soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é uma série geométrica. É uma série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada de razão .

Passo 3

Na nossa série , podemos reescrever como . Assim, fica claro que nossa razão é .

Passo 4

Uma série geométrica infinita converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso, , que é menor que 1. Então, a série converge.

Passo 5

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = 11 - r
Vamos substituir S = 11 - e^-1/2 por :

Passo 6

Se quisermos uma aproximação numérica, podemos calcular e^-1/2 approx 0.6065 :
S approx 11 - 0.6065 = 10.3935 approx 2.544
Então:

Resposta

A soma da série é , que aproximadamente é .

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