Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
{(3^n + 2^n) / (3^(n+1) + 2^(n+1))}_{n ≥ 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai achar o limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação de expressões exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. Olha só, no numerador temos e no denominador . Podemos fatorar o e o para simplificar.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador:
Então, a sequência fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por , que é o termo de maior crescimento:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Sabemos que tende a 0 quando cresce, porque .

Passo 6

Aplicando o limite:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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