Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite.
a_n = ln(2n^2 + 1) - ln(n + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa calcular o limite. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e conceitos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos: . Aplicando isso à nossa sequência:

Passo 3

Agora, a ideia é encontrar o limite dessa expressão quando vai para o infinito. Para facilitar, vamos analisar a fração dentro do logaritmo:

Passo 4

Vamos dividir o numerador e o denominador por , que é a maior potência de no denominador:
Quando tende ao infinito, os termos vão para zero, então a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão original do logaritmo:
E vamos calcular o limite quando vai para o infinito:

Resposta

A sequência diverge para o infinito.

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