Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente precisa calcular o limite. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e conceitos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma propriedade dos logaritmos:
. Aplicando isso à nossa sequência:
Passo 3
Agora, a ideia é encontrar o limite dessa expressão quando
vai para o infinito. Para facilitar, vamos analisar a fração dentro do logaritmo:
Passo 4
Vamos dividir o numerador e o denominador por
, que é a maior potência de
no denominador:
Quando
tende ao infinito, os termos
vão para zero, então a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na expressão original do logaritmo:
E vamos calcular o limite quando
vai para o infinito:
Resposta
A sequência diverge para o infinito.
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