Explique por que as séries abaixo são divergentes.
sumn=1^infty n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a série é divergente. Isso está relacionado ao estudo de séries numéricas na matemática, especificamente analisando se a soma infinita dos termos converge (tende a um valor finito) ou diverge (não tem um limite definido). Para resolver isso, vamos usar um teste bem básico chamado Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série divergir. Se a sequência dos termos da série não se aproxima de zero à medida que aumenta, então a série necessariamente diverge. Isso porque, para que a soma infinita tenha um limite, os termos devem ficar cada vez menores, chegando a zero.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Divergência na nossa série limn to infty n^2 = infty . Esse teste diz que se , onde é o termo geral da série, então a série diverge.
No nosso caso, o termo geral é . Vamos calcular o limite:

Passo 4

Como o limite do termo geral quando tende ao infinito é infinito, ou seja, não é zero, o Teste da Divergência nos diz que a série diverge.

Resposta

Portanto, a série é divergente porque seus termos não convergem a zero conforme cresce sem limites.

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