Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos achar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de radiciação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sequência representa. Temos , que é a raiz -ésima do produto de números de até . Esse produto pode ser reescrito como , mas para facilitar, vamos usar logaritmos para lidar com a raiz.

Passo 3

Vamos aplicar o logaritmo natural na sequência para simplificar:
Usando propriedades de logaritmos, isso vira:

Passo 4

Simplificando mais, temos:
Agora, vamos analisar o termo .

Passo 5

Observamos que . Substituindo isso na soma:
Isso separa em:

Passo 6

Voltando à expressão de :
Agora, percebemos que isso se aproxima de uma integral quando tende ao infinito.

Passo 7

Quando fica grande, a soma se aproxima da integral de de 0 a 1:

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
Avaliada de 0 a 1:

Passo 9

Então, temos que:
Para achar o limite de , aplicamos a exponencial:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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Qual é o termo nesta sequência: ?
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