Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos achar o limite dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades de radiciação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a sequência representa. Temos
, que é a raiz
-ésima do produto de números de
até
. Esse produto pode ser reescrito como
, mas para facilitar, vamos usar logaritmos para lidar com a raiz.
Passo 3
Vamos aplicar o logaritmo natural na sequência para simplificar:
Usando propriedades de logaritmos, isso vira:
Passo 4
Simplificando mais, temos:
Agora, vamos analisar o termo
.
Passo 5
Observamos que
. Substituindo isso na soma:
Isso separa em:
Passo 6
Voltando à expressão de
:
Agora, percebemos que isso se aproxima de uma integral quando
tende ao infinito.
Passo 7
Quando
fica grande, a soma
se aproxima da integral de
de 0 a 1:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Avaliada de 0 a 1:
Passo 9
Então, temos que:
Para achar o limite de
, aplicamos a exponencial:
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.
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Qual é o
termo nesta sequência:
?
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termo nesta sequência:
?