Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado: temos a sequência
e precisamos descobrir se ela é divergente ou convergente. Se for convergente, também vamos determinar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência:
Essa forma nos ajuda a comparar com a expressão conhecida
, que tende a
quando
cresce.
Passo 3
Para facilitar a análise, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da sequência:
Usar o logaritmo ajuda a simplificar a expressão para calcular o limite.
Passo 4
Agora, vamos aproximar o logaritmo para valores grandes de
. Sabemos que, para
pequeno,
. Aplicando isso:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso significa que o logaritmo de
cresce sem limites.
Passo 6
Como
tende ao infinito, então
também tende ao infinito:
Portanto, a sequência
é divergente.
Resposta
A sequência é divergente.
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Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Qual é o
termo nesta sequência:
?