Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado: temos a sequência e precisamos descobrir se ela é divergente ou convergente. Se for convergente, também vamos determinar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência:
Essa forma nos ajuda a comparar com a expressão conhecida , que tende a quando cresce.

Passo 3

Para facilitar a análise, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da sequência:
Usar o logaritmo ajuda a simplificar a expressão para calcular o limite.

Passo 4

Agora, vamos aproximar o logaritmo para valores grandes de . Sabemos que, para pequeno, . Aplicando isso:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Isso significa que o logaritmo de cresce sem limites.

Passo 6

Como tende ao infinito, então também tende ao infinito:
Portanto, a sequência é divergente.

Resposta

A sequência é divergente.

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Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: ;
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Qual é o termo nesta sequência: ?