Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a sequência , onde é um número real, é divergente ou convergente. Se for convergente, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de análise de limites de sequências.

Passo 2

Vamos analisar a sequência para diferentes valores de . O comportamento da sequência depende do valor de :
  1. Caso : Aqui, tende a 0 conforme aumenta, porque qualquer número com módulo menor que 1 elevado a uma potência crescente vai diminuindo.
  2. Caso : Se , a sequência vira , que cresce sem limite. Se , a sequência oscila entre e , também sem limite.
  3. Caso : Nesse cenário, cresce exponencialmente, e multiplicar por só acelera esse crescimento.

Passo 3

Vamos calcular o limite para cada caso:
  1. Para :
    Isso porque decai mais rapidamente do que cresce.
  2. Para :
    • Se : A sequência é divergente.
    • Se : Aqui, a sequência oscila entre valores positivos e negativos crescentes em módulo, também divergente.
  3. Para :
    ã
    A sequência cresce sem limite ou não possui limite dependendo do sinal de .

Resposta

A sequência é convergente somente para , e seu limite é 0. Para todos os demais valores de , a sequência é divergente.

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