Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a sequência
, onde
é um número real, é divergente ou convergente. Se for convergente, também devemos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de análise de limites de sequências.
Passo 2
Vamos analisar a sequência
para diferentes valores de
. O comportamento da sequência depende do valor de
:
- Caso
: Aqui, tende a 0 conforme aumenta, porque qualquer número com módulo menor que 1 elevado a uma potência crescente vai diminuindo. - Caso
: Se , a sequência vira , que cresce sem limite. Se , a sequência oscila entre e , também sem limite. - Caso
: Nesse cenário, cresce exponencialmente, e multiplicar por só acelera esse crescimento.
Passo 3
Vamos calcular o limite para cada caso:
-
Para
: Isso porquedecai mais rapidamente do que cresce. -
Para
: - Se
: A sequência é divergente. - Se
: Aqui, a sequência oscila entre valores positivos e negativos crescentes em módulo, também divergente.
- Se
-
Para
: A sequência cresce sem limite ou não possui limite dependendo do sinal de.
Resposta
A sequência
é convergente somente para
, e seu limite é 0. Para todos os demais valores de
, a sequência é divergente.
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;
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?;
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