Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os quatro primeiros termos da sequência
, analisar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico quando
fica muito grande) e encontrar esse limite se ele existir. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular termos de uma sequência e usar conceitos de limites e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, os quatro primeiros termos são aproximadamente
,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a convergência da sequência. Queremos saber se, conforme
aumenta, os termos de
se aproximam de um número específico.
Observando a forma da sequência
, percebemos que o denominador é
(fatorial de
), que cresce muito mais rápido que o numerador
. Isso sugere que os termos da sequência vão ficando cada vez menores conforme
aumenta.
Passo 4
Para encontrar o limite da sequência, vamos calcular:
Sabemos que
cresce extremamente rápido, muito mais rápido que qualquer função polinomial ou raiz quadrada. Portanto, à medida que
fica muito grande,
se aproxima de zero.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente
,
,
e
. A sequência
converge para
à medida que
tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Os dois primeiros termos de algumas progressões aritméticas são dados abaixo. Escreva o termo geral e determine o termo indicado.
?;
Escreva os quatro primeiros termos de cada sequência e descubra a fórmula do
-ésimo termo em função de
.
e
;
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.