Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar os quatro primeiros termos da sequência , analisar se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de algum valor específico quando fica muito grande) e encontrar esse limite se ele existir. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular termos de uma sequência e usar conceitos de limites e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os quatro primeiros termos da sequência .
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, os quatro primeiros termos são aproximadamente , , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a convergência da sequência. Queremos saber se, conforme aumenta, os termos de se aproximam de um número específico.
Observando a forma da sequência , percebemos que o denominador é (fatorial de ), que cresce muito mais rápido que o numerador . Isso sugere que os termos da sequência vão ficando cada vez menores conforme aumenta.

Passo 4

Para encontrar o limite da sequência, vamos calcular:
Sabemos que cresce extremamente rápido, muito mais rápido que qualquer função polinomial ou raiz quadrada. Portanto, à medida que fica muito grande, se aproxima de zero.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são aproximadamente , , e . A sequência converge para à medida que tende ao infinito.

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