Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por . O objetivo é determinar se essa sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento da sequência quando cresce sem limites, ou seja, quando tende ao infinito. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador da fração envolvem termos com .

Passo 3

Examinemos o numerador . Sabemos que a função seno, , está sempre limitada entre -1 e 1, independentemente do valor de . Portanto, também está entre -1 e 1.

Passo 4

Agora, olhemos para o denominador . Quando aumenta, o termo domina em relação a , pois cresce muito mais rapidamente.

Passo 5

Para simplificar a análise, vamos dividir o numerador e o denominador por :

Passo 6

Agora, analisamos cada termo:
  • tende a 0 conforme cresce.
  • também tende a 0, já que o numerador é limitado e o denominador cresce sem limites.
  • tende a 0 conforme cresce.

Passo 7

Substituindo esses limites na expressão simplificada:

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 0.

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