Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
. O objetivo é determinar se essa sequência é divergente ou convergente. Se for convergente, precisamos encontrar o seu limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento da sequência quando
cresce sem limites, ou seja, quando
tende ao infinito. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador da fração envolvem termos com
.
Passo 3
Examinemos o numerador
. Sabemos que a função seno,
, está sempre limitada entre -1 e 1, independentemente do valor de
. Portanto,
também está entre -1 e 1.
Passo 4
Agora, olhemos para o denominador
. Quando
aumenta, o termo
domina em relação a
, pois
cresce muito mais rapidamente.
Passo 5
Para simplificar a análise, vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 6
Agora, analisamos cada termo:
-
tende a 0 conforme cresce. -
também tende a 0, já que o numerador é limitado e o denominador cresce sem limites. -
tende a 0 conforme cresce.
Passo 7
Substituindo esses limites na expressão simplificada:
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é 0.
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