Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a sequência
é divergente ou convergente, e, se for convergente, qual é o seu limite. Vamos usar conceitos de análise de limites de sequências, especialmente lidando com expressões que envolvem potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da base da potência quando
cresce muito, ou seja, para
tendendo ao infinito:
Isso significa que, para valores muito grandes de
, a base
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o expoente
. Conforme
aumenta, esse expoente também cresce sem limite, já que é uma função linear de
.
Passo 4
Com base nessas observações, nossa sequência fica aproximadamente assim para grandes valores de
:
Como
, qualquer potência de um número maior que 1 tende ao infinito quando o expoente cresce sem limite.
Passo 5
Para formalizar, podemos calcular o limite da sequência:
Isso mostra que a sequência não se aproxima de nenhum número finito, mas cresce sem limites.
Resposta
A sequência é divergente e tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Qual é o
termo nesta sequência:
?
Qual é o
termo nesta sequência:
?
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.