Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se a sequência é divergente ou convergente, e, se for convergente, qual é o seu limite. Vamos usar conceitos de análise de limites de sequências, especialmente lidando com expressões que envolvem potências onde tanto a base quanto o expoente dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da base da potência quando cresce muito, ou seja, para tendendo ao infinito:
Isso significa que, para valores muito grandes de , a base se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o expoente . Conforme aumenta, esse expoente também cresce sem limite, já que é uma função linear de .

Passo 4

Com base nessas observações, nossa sequência fica aproximadamente assim para grandes valores de :
Como , qualquer potência de um número maior que 1 tende ao infinito quando o expoente cresce sem limite.

Passo 5

Para formalizar, podemos calcular o limite da sequência:
Isso mostra que a sequência não se aproxima de nenhum número finito, mas cresce sem limites.

Resposta

A sequência é divergente e tende ao infinito.

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Qual é o termo nesta sequência: ?
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
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