Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se a série
converge ou diverge, e, se possível, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de séries infinitas, especialmente o Teste da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergente ou divergente. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, dizemos que a série diverge.
Passo 3
Para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero quando
tende ao infinito, a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral:
Passo 4
Sabemos que
é uma função que oscila entre
e
para todo valor de
. Portanto,
nunca se torna zero, mas seu valor permanece limitado nesse intervalo.
Passo 5
Agora, analisando o limite:
Como
oscila entre
e
, o denominador não tem um valor fixo e, em magnitude, é sempre menor ou igual a
. Então, o numerador
cresce sem limite, enquanto o denominador permanece limitado.
Passo 6
Isso significa que o termo
cresce indefinidamente conforme
aumenta. Portanto, o limite:
Passo 7
Como o limite do termo geral não é zero, pelo Teste da Divergência, podemos concluir que a série
diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Qual é o
termo nesta sequência:
?
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.