Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para decidir se a série converge ou diverge, e, se possível, calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de séries infinitas, especialmente o Teste da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergente ou divergente. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um número finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, dizemos que a série diverge.

Passo 3

Para verificar a convergência dessa série, vamos aplicar o Teste da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série não for zero quando tende ao infinito, a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral:

Passo 4

Sabemos que é uma função que oscila entre e para todo valor de . Portanto, nunca se torna zero, mas seu valor permanece limitado nesse intervalo.

Passo 5

Agora, analisando o limite:
Como oscila entre e , o denominador não tem um valor fixo e, em magnitude, é sempre menor ou igual a . Então, o numerador cresce sem limite, enquanto o denominador permanece limitado.

Passo 6

Isso significa que o termo cresce indefinidamente conforme aumenta. Portanto, o limite:
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Passo 7

Como o limite do termo geral não é zero, pelo Teste da Divergência, podemos concluir que a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.
Qual é o termo nesta sequência: ?
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente.