Determine se a sequência (n^2 + 1) / e^n converge ou diverge. Se convergir, obtenha o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe é: Determinar se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontrar o seu limite.
Aqui, estamos lidando com sequences (sequências) e cálculo de limites. Para resolver, vamos precisar entender como os termos da sequência se comportam conforme aumenta, comparando o crescimento do numerador com o denominador .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os componentes da sequência: temos um polinômio de segundo grau no numerador ( ) e uma função exponencial no denominador ( ).
Sabemos que, à medida que cresce, as funções exponenciais crescem muito mais rápido do que as funções polinomiais. Ou seja, aumenta de forma muito mais rápida que .

Passo 3

Para formalizar isso, podemos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:

Passo 4

Podemos dividir o limite em duas partes:
Agora, vamos calcular cada um separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos:
Como cresce muito mais rápido que , esse limite tende a zero.

Passo 6

Segundo, calculamos:
Aqui, tende ao infinito, então tende a zero.

Passo 7

Somando os dois limites:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 0.

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