Seja o sólido delimitado pelos planos e . Calcule, pela definição, o fluxo do campo vetorial através da fronteira de na direção do vetor, , unitário normal exterior à .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da fronteira de um sólido limitado pelos planos , , e . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente com integrais de fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir a fronteira do sólido em superfícies menores e calcular o fluxo em cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as superfícies que compõem a fronteira do sólido . Como é delimitado pelos planos , , e , temos quatro faces:
Plano : Esse é o plano .
Plano : Esse é o plano .
Plano : Esse é o plano .
Plano inclinado : Esse é o teto do sólido.
Passo 3
O fluxo total através da fronteira de será a soma dos fluxos através de cada uma dessas quatro superfícies. Ou seja:
Passo 4
Vamos começar calculando o fluxo através do plano . Para isso, precisamos:
Encontrar o vetor normal à superfície: Como estamos no plano , o vetor normal é (apontando para fora do sólido).
Substituir no campo vetorial :
Calcular o produto escalar :
Passo 5
Agora, precisamos integrar esse produto escalar sobre a região do plano que faz parte da fronteira de . Nesse caso, e variam de 0 a 2, mas precisam satisfazer . Então, os limites de integração são:
de 0 a 2
de 0 a
Assim, o fluxo através do plano é:
Passo 6
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Integrar em relação a :
Simplificar:
Agora, integrar em relação a :
Expandir e integrar cada termo:
Passo 7
Então, o fluxo através do plano é .
Vamos repetir esse processo para os outros planos.
Plano :
Vetor normal:
Substituir no campo vetorial:
Produto escalar:
Fluxo: Como o produto escalar é zero, o fluxo através do plano é 0.
Plano :
Vetor normal:
Substituir no campo vetorial:
Produto escalar:
Limites de integração:, então de 0 a 2 e de 0 a .
Fluxo:
Resolver a integral:
Após resolver, encontramos:
Plano :
Vetor normal: Como queremos o vetor normal exterior, podemos usar .
Expressar em função de e :
Calcular o campo vetorial na superfície:
Produto escalar :
Simplificar e integrar sobre a área do triângulo . Após os cálculos, encontramos:
Resposta
Somando os fluxos das quatro superfícies:
Portanto, o fluxo do campo vetorial através da fronteira de é .