Seja B o sólido delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x + y + z = 2. Calcule, pela definição, o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = y*z*i + y*x^2*j + (x+y^2)*k através da fronteira de B na direção do vetor, eta, unitário normal exterior à B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da fronteira de um sólido limitado pelos planos , , e . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente com integrais de fluxo. Para resolver isso, vamos precisar entender como dividir a fronteira do sólido em superfícies menores e calcular o fluxo em cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as superfícies que compõem a fronteira do sólido . Como é delimitado pelos planos , , e , temos quatro faces:
  1. Plano : Esse é o plano .
  2. Plano : Esse é o plano .
  3. Plano : Esse é o plano .
  4. Plano inclinado : Esse é o teto do sólido.

Passo 3

O fluxo total através da fronteira de será a soma dos fluxos através de cada uma dessas quatro superfícies. Ou seja:
éééé

Passo 4

Vamos começar calculando o fluxo através do plano . Para isso, precisamos:
  1. Encontrar o vetor normal à superfície: Como estamos no plano , o vetor normal é (apontando para fora do sólido).
  2. Substituir no campo vetorial :
  1. Calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, precisamos integrar esse produto escalar sobre a região do plano que faz parte da fronteira de . Nesse caso, e variam de 0 a 2, mas precisam satisfazer . Então, os limites de integração são:
  • de 0 a 2
  • de 0 a
Assim, o fluxo através do plano é:

Passo 6

Vamos resolver essa integral passo a passo:
  1. Integrar em relação a :
  1. Simplificar:
  1. Agora, integrar em relação a :
  1. Expandir e integrar cada termo:

Passo 7

Então, o fluxo através do plano é .
Vamos repetir esse processo para os outros planos.
Plano :
  1. Vetor normal:
  2. Substituir no campo vetorial:
  1. Produto escalar:
  1. Fluxo: Como o produto escalar é zero, o fluxo através do plano é 0.
Plano :
  1. Vetor normal:
  2. Substituir no campo vetorial:
  1. Produto escalar:
  1. Limites de integração: , então de 0 a 2 e de 0 a .
  2. Fluxo:
  1. Resolver a integral:
Após resolver, encontramos:
Plano :
  1. Vetor normal: Como queremos o vetor normal exterior, podemos usar .
  2. Expressar em função de e :
  3. Calcular o campo vetorial na superfície:
  1. Produto escalar :
  1. Simplificar e integrar sobre a área do triângulo . Após os cálculos, encontramos:

Resposta

Somando os fluxos das quatro superfícies:
Portanto, o fluxo do campo vetorial através da fronteira de é .

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