Determine se a série absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge: sumn=1^infty (-1)^n2 raizn

Passo 1

Vamos analisar a série . O objetivo é determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar testes de convergência de séries, como o teste da série p e o teste da série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa verificar se a série dos valores absolutos converge:
sumn=1^infty | (-1)^n2 raizn | = sumn=1^infty 12 raizn
Essa série é uma série p com .

Passo 3

Sabemos que uma série p converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série dos valores absolutos diverge. Isso significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência condicional usando o teste da série alternada. Esse teste diz que uma série converge se:
  1. é decrescente: .
  2. .
No nosso caso, .
  1. para todo , então é decrescente.
  2. .
Portanto, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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