Encontre a derivada das funções abaixo.
g(x) = (cos(x) + (10 - pi) x) / (sen(x) - (10 - pi/t) x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! O enunciado pede para encontrar a derivada da função . Vamos usar os conceitos de derivadas de funções compostas e, especificamente, a Regra do Quociente para derivar essa função que é uma divisão entre duas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é a divisão de duas funções, ou seja, , a derivada é dada por:
Isso significa que a derivada da fração é obtida multiplicando a derivada do numerador pelo denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
  • Numerador:
  • Denominador:
Agora, precisamos encontrar e , as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador :
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é apenas porque a derivada de é .
Então,

Passo 5

Agora, vamos derivar o denominador :
Derivando termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

A derivada da função é:

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