Encontre a derivada das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! O enunciado pede para encontrar a derivada da função
. Vamos usar os conceitos de derivadas de funções compostas e, especificamente, a Regra do Quociente para derivar essa função que é uma divisão entre duas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Quociente. Se você tem uma função que é a divisão de duas funções, ou seja,
, a derivada
é dada por:
Isso significa que a derivada da fração é obtida multiplicando a derivada do numerador pelo denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo isso dividido pelo denominador ao quadrado.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa função:
- Numerador:
- Denominador:
Agora, precisamos encontrar
e
, as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é apenas porque a derivada de é .
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar o denominador
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo as expressões que encontramos:
Resposta
A derivada da função é: