Identifique e descreva a superfície do
dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar e descrever a superfície no espaço tridimensional
que é definida pela equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, focando em superfícies no espaço. Precisamos entender como uma equação envolvendo várias variáveis (nesse caso,
,
e
) define uma forma tridimensional e como podemos representá-la gráficamente.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação dada é
. Note que nela não aparece a variável
. Isso significa que, independente do valor de
, a relação entre
e
sempre será a mesma. Em outras palavras, para qualquer valor de
, a equação ainda descreve a mesma parábola no plano
.
Passo 3
Vamos lembrar como é o gráfico dessa equação em duas dimensões. A equação
representa uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de
é negativo. O número 4 faz com que a parábola seja mais “estreita” comparada com
.
Passo 4
Como a equação não envolve
, a parábola
se repete ao longo de todo o eixo
. Isso cria uma superfície chamada de cilindro parabólico. Imagine pegar a parábola e estendê-la infinitamente em ambas as direções do eixo
– esse é o cilindro parabólico que estamos descrevendo.
Passo 5
Para esboçar essa superfície, desenhe a parábola
no plano
. Depois, imagine essa curva sendo “puxada” para frente e para trás ao longo do eixo
, sem mudar sua forma. O resultado é uma superfície alongada que mantém a forma parabólica em qualquer seção paralela ao plano
.
Resposta
A superfície definida pela equação
em
é um cilindro parabólico, onde a parábola
se estende indefinidamente ao longo do eixo
. O esboço dessa superfície mostra uma parábola aberta para baixo que se replica em todas as posições ao longo do eixo
, formando um cilindro com seção transversal parabólica.