Identifique e descreva a superfície do R^3 dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
y = -4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente identificar e descrever a superfície no espaço tridimensional R^3 que é definida pela equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, focando em superfícies no espaço. Precisamos entender como uma equação envolvendo várias variáveis (nesse caso, x, y e z) define uma forma tridimensional e como podemos representá-la gráficamente.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação dada é . Note que nela não aparece a variável z. Isso significa que, independente do valor de z, a relação entre x e y sempre será a mesma. Em outras palavras, para qualquer valor de z, a equação ainda descreve a mesma parábola no plano xy.

Passo 3

Vamos lembrar como é o gráfico dessa equação em duas dimensões. A equação representa uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de x^2 é negativo. O número 4 faz com que a parábola seja mais “estreita” comparada com .

Passo 4

Como a equação não envolve z, a parábola se repete ao longo de todo o eixo z. Isso cria uma superfície chamada de cilindro parabólico. Imagine pegar a parábola e estendê-la infinitamente em ambas as direções do eixo z – esse é o cilindro parabólico que estamos descrevendo.

Passo 5

Para esboçar essa superfície, desenhe a parábola no plano xy. Depois, imagine essa curva sendo “puxada” para frente e para trás ao longo do eixo z, sem mudar sua forma. O resultado é uma superfície alongada que mantém a forma parabólica em qualquer seção paralela ao plano xy.

Resposta

A superfície definida pela equação em R^3 é um cilindro parabólico, onde a parábola se estende indefinidamente ao longo do eixo z. O esboço dessa superfície mostra uma parábola aberta para baixo que se replica em todas as posições ao longo do eixo z, formando um cilindro com seção transversal parabólica.

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