Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^infty 3^n x^n(n+1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty 3^n x^n(n+1)^2
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica muito útil para determinar onde uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = 3^n x^n(n+1)^2
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Esse limite nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge.

Passo 3

Vamos calcular an+1an = 3^n+1 x^n+1(n+2)^2 cdot (n+1)^23^n x^n :
an+1an = 3x cdot ( n+1n+2 )^2
Simplificando os termos, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 3|x| cdot ( n+1n+2 )^2 vai para o infinito:
L = 3|x| cdot 1 = 3|x|
Observando que 3|x| < 1 implies |x| < 13 tende a 1 quando cresce, temos:
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que :

Passo 5

O raio de convergência R = 13 é o valor tal que - 13 < x < 13 . Então:
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, consideramos que pode variar entre e :
Precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.

Passo 6

Vamos testar sumn=0^infty 3^n (13)^n(n+1)^2 = sumn=0^infty 1(n+1)^2, :
sumn=0^infty 3^n (-13)^n(n+1)^2 = sumn=0^infty (-1)^n(n+1)^2,
que é a série p com . Sabemos que essa série converge.
Agora, vamos testar :
que é uma série alternada e também converge, pois os termos tendem a zero e são decrescentes.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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