Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica muito útil para determinar onde uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Esse limite nos ajuda a determinar se a série converge ou diverge.
Passo 3
Vamos calcular
an+1an = 3^n+1 x^n+1(n+2)^2 cdot (n+1)^23^n x^n :
Simplificando os termos, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
L = limn to infty 3|x| cdot ( n+1n+2 )^2 vai para o infinito:
Observando que
3|x| < 1 implies |x| < 13 tende a 1 quando
cresce, temos:
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que
:
Passo 5
O raio de convergência
R = 13 é o valor tal que
- 13 < x < 13 . Então:
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, consideramos que
pode variar entre
e
:
Precisamos verificar os pontos finais
e
para ver se a série converge nesses valores.
Passo 6
Vamos testar
sumn=0^infty 3^n (13)^n(n+1)^2 = sumn=0^infty 1(n+1)^2, :
que é a série p com
. Sabemos que essa série converge.
Agora, vamos testar
:
que é uma série alternada e também converge, pois os termos
tendem a zero e são decrescentes.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.