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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral
. Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de integração onde mudamos a variável para simplificar a integral.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição apropriada. Observando a função dentro do seno, temos
. Então, vamos definir:
Isso nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando
:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Perceba que ainda temos um
no denominador. Como
, podemos expressar
em termos de
:
Então, substituindo:
Passo 5
Agora, temos uma integral que podemos resolver usando integração por partes ou consultar uma tabela de integrais. No entanto, para simplificar, vamos integrar diretamente:
A solução dessa integral envolve funções especiais, mas para o propósito deste exercício, podemos expressar a resposta em termos da função original substituída.
Resposta
Portanto, a integral fica:
onde
é a constante de integração.