Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries, especialmente sobre convergência. Para resolver, vamos precisar analisar se a série converge de maneira absoluta, o que significa ver a série , que é equivalente a sumn=1^infty nn^2+1.
Passo 2
Primeiro, precisamos analisar a série sumn=1^infty nn^2+1. Uma boa forma de fazer isso é usando o teste da comparação ou o teste da integral, mas aqui vamos focar apenas em ver o comportamento da função quando n é grande (ou seja, quando tende ao infinito).
Quando n é grande, n^2+1 se comporta praticamente como n^2, então podemos simplificar a expressão nn^2+1 para se aproximar de nn^2 = 1n. Sendo assim, temos que:
nn^2+1 sim 1n (para n to infty)
A série sumn=1^infty 1n é uma série p-harmônica que diverge, ou seja, não converge. Portanto, isso sugere que a série sumn=1^infty nn^2+1 também diverge, o que significa que a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora, vamos então verificar a convergência condicional da série original usando o teste da série alternada. Essa série, sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1, é uma série alternada, onde o termo geral é dado por an = nn^2 + 1.
O teste da série alternada diz que a série convergirá se:
Os termos an forem positivos: nn^2+1 > 0, isso é verdade para todo n >= 1.
Os termos an forem decrescentes, ou seja, an+1 < an.
O limite de an conforme n to infty deve ser zero: limn to infty nn^2+1 = limn to infty nn^2 = limn to infty 1n = 0.
Verificando se an é decrescente:
Queremos que an+1 < an, que é n+1(n+1)^2 + 1 < nn^2+1. Esse passo pode ser um pouco complicado, mas se você calcular, verá que para n suficiente grande, essa desigualdade se mantém verdadeira.
Como todas as condições do teste da série alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1 é condicionalmente convergente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1 nn^2+1 é condicionalmente convergente.