Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries, especialmente sobre convergência. Para resolver, vamos precisar analisar se a série converge de maneira absoluta, o que significa ver a série , que é equivalente a .

Passo 2

Primeiro, precisamos analisar a série . Uma boa forma de fazer isso é usando o teste da comparação ou o teste da integral, mas aqui vamos focar apenas em ver o comportamento da função quando é grande (ou seja, quando tende ao infinito).
Quando é grande, se comporta praticamente como , então podemos simplificar a expressão para se aproximar de . Sendo assim, temos que:
A série é uma série p-harmônica que diverge, ou seja, não converge. Portanto, isso sugere que a série também diverge, o que significa que a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora, vamos então verificar a convergência condicional da série original usando o teste da série alternada. Essa série, , é uma série alternada, onde o termo geral é dado por .
O teste da série alternada diz que a série convergirá se:
  1. Os termos forem positivos: , isso é verdade para todo .
  2. Os termos forem decrescentes, ou seja, .
  3. O limite de conforme deve ser zero: .
Verificando se é decrescente:
Queremos que , que é . Esse passo pode ser um pouco complicado, mas se você calcular, verá que para suficiente grande, essa desigualdade se mantém verdadeira.
Como todas as condições do teste da série alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados

A partir dos dados experimentais da Tabela II, determine a diferença de potencial líquida (somatório dos incrementos e quedas de potencial) nas malhas delimitadas pelos nós i) , ii) , iii) , iv) e v) que compõem o circuito do experimento. Utilize a Lei das malhas de Kirchhoff para analisar o resultado e justifique sua resposta em termos dos valores obtidos e das incertezas associadas, explicitando todos os cálculos.
Apresente todas as tabelas com os dados experimentais e suas respectivas incertezas.
Tabela I: Procedimento A (Lei dos nós de Kirchhoff).
Ddp fonte Corrente fonte Corrente Corrente Corrente Corrente Corrente
Tabela II: Procedimento B (Lei das malhas de Kirchhoff).
Ddp na fonte Ddp em <br> (V) Ddp em <br> (V) Ddp em <br> (V) Ddp em <br> (V)
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.