Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita, que é a . O que queremos fazer é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo dessa questão está relacionado a séries de potências, e para resolver vamos precisar do critério da razão, que é uma forma de determinar quando a série converge.

Passo 2

Para aplicar o critério da razão, vamos considerar o termo geral da nossa série, que é . O próximo passo é calcular a razão entre o termo atual e o próximo termo. A fórmula do critério da razão é:
Então vamos calcular :
Agora, vamos calcular a razão:
Simplificando isso, temos:

Passo 3

Agora precisamos calcular o limite quando vai para o infinito:
O próximo passo é aplicar o critério da razão, que diz que a série converge se . Então colocamos isso em uma desigualdade:
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos:
Isso nos dá o raio de convergência, que é .

Passo 4

Agora que temos o raio, vamos determinar o intervalo de convergência. O intervalo de convergência vai ser da forma , ou seja, . Precisamos ainda verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, nos pontos e .
  1. Para , a série se torna , que diverge.
  2. Para , a série se torna , que também diverge.
Então, os extremos não estão incluídos no intervalo.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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