Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita, que é a . O que queremos fazer é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo dessa questão está relacionado a séries de potências, e para resolver vamos precisar do critério da razão, que é uma forma de determinar quando a série converge.
Passo 2
Para aplicar o critério da razão, vamos considerar o termo geral da nossa série, que é . O próximo passo é calcular a razão entre o termo atual e o próximo termo. A fórmula do critério da razão é:
Então vamos calcular an+1:
an+1 = (-1)^n+1 (n+1) 4^n+1 x^n+1
Agora, vamos calcular a razão:
an+1an = (-1)^n+1 (n+1) 4^n+1 x^n+1(-1)^n n 4^n x^n
Agora precisamos calcular o limite quando n vai para o infinito:
L = limn to infty | -4x ( 1 + 1n ) | = | 4x |
O próximo passo é aplicar o critério da razão, que diz que a série converge se L < 1. Então colocamos isso em uma desigualdade:
|4x| < 1
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos:
|x| < 14
Isso nos dá o raio de convergência, que é R = 14.
Passo 4
Agora que temos o raio, vamos determinar o intervalo de convergência. O intervalo de convergência vai ser da forma (-R, R), ou seja, (-14, 14). Precisamos ainda verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, nos pontos x = -14 e x = 14.
Para x = 14, a série se torna sumn=1^infty (-1)^n n 4^n ( 14 )^n = sumn=1^infty (-1)^n n, que diverge.
Para x = -14, a série se torna sumn=1^infty (-1)^n n 4^n ( -14 )^n = sumn=1^infty n, que também diverge.
Então, os extremos não estão incluídos no intervalo.
Resposta
O raio de convergência é R = 14 e o intervalo de convergência é (-14, 14).