Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Vamos resumir o exercício. Temos a série , e precisamos testar se essa série converge (ou seja, se chega a um valor fixo quando somamos os termos) ou se ela diverge (se não chega a nenhum valor e simplesmente “sai” infinitamente). O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre séries infinitas, mais especificamente, sobre séries alternadas. Para resolver isso, vamos usar o critério da série alternada. O que a gente vai precisar aqui são os termos da série e algumas propriedades básicas sobre elas.

Passo 2

Esse tipo de série que envolve sinais positivos e negativos alternados é chamada de série alternada. O formato geral da série alternada é , onde é uma sequência de números positivos. No nosso caso, podemos reformular a série como . Aqui, .
Para aplicar o teste da série alternada, precisamos checar duas coisas:
  1. Os termos precisam ser positivos.
  2. A sequência precisa ser decrescente e convergir para zero.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se os termos são positivos. Para , temos , que com certeza é positivo, já que o numerador é positivo (4) e o denominador (n+7) nunca será zero quando .
Agora, precisamos verificar se a sequência é decrescente. Para isso, vamos comparar com :
Sabemos que se aumenta, o denominador de também aumenta. Assim, como , podemos afirmar que . Portanto, é decrescente.
Agora, vamos verificar se converge para zero:
Portanto, a sequência vai para zero.

Resposta

Como os termos de nossa série alternada são positivos, decrescem e o limite vai a zero, podemos concluir que a série converge.

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