Teste a série quanto a convergência ou divergência. 47-48+49-410+411-cdots

Passo 1

Vamos resumir o exercício. Temos a série 47-48+49-410+411-cdots, e precisamos testar se essa série converge (ou seja, se chega a um valor fixo quando somamos os termos) ou se ela diverge (se não chega a nenhum valor e simplesmente “sai” infinitamente). O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre séries infinitas, mais especificamente, sobre séries alternadas. Para resolver isso, vamos usar o critério da série alternada. O que a gente vai precisar aqui são os termos da série e algumas propriedades básicas sobre elas.

Passo 2

Esse tipo de série que envolve sinais positivos e negativos alternados é chamada de série alternada. O formato geral da série alternada é sum (-1)^n an, onde an é uma sequência de números positivos. No nosso caso, podemos reformular a série como sumn=0^infty (-1)^n 4n+7. Aqui, an = 4n+7.
Para aplicar o teste da série alternada, precisamos checar duas coisas:
  1. Os termos an precisam ser positivos.
  2. A sequência an precisa ser decrescente e convergir para zero.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se os termos são positivos. Para n >= 0, temos an = 4n+7, que com certeza é positivo, já que o numerador é positivo (4) e o denominador (n+7) nunca será zero quando n >= 0.
Agora, precisamos verificar se a sequência an é decrescente. Para isso, vamos comparar an com an+1:
an = 4n+7
an+1 = 4(n+1)+7 = 4n+8
Sabemos que se n aumenta, o denominador de an também aumenta. Assim, como n+7 < n+8, podemos afirmar que an > an+1. Portanto, an é decrescente.
Agora, vamos verificar se an converge para zero:
limn to infty an = limn to infty 4n+7 = 0
Portanto, a sequência an vai para zero.

Resposta

Como os termos de nossa série alternada são positivos, decrescem e o limite vai a zero, podemos concluir que a série 47-48+49-410+411-cdots converge.

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