Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Vamos resumir o exercício. Temos a série
, e precisamos testar se essa série converge (ou seja, se chega a um valor fixo quando somamos os termos) ou se ela diverge (se não chega a nenhum valor e simplesmente “sai” infinitamente). O conteúdo que estamos lidando aqui é sobre séries infinitas, mais especificamente, sobre séries alternadas. Para resolver isso, vamos usar o critério da série alternada. O que a gente vai precisar aqui são os termos da série e algumas propriedades básicas sobre elas.
Passo 2
Esse tipo de série que envolve sinais positivos e negativos alternados é chamada de série alternada. O formato geral da série alternada é
, onde
é uma sequência de números positivos. No nosso caso, podemos reformular a série como
. Aqui,
.
Para aplicar o teste da série alternada, precisamos checar duas coisas:
- Os termos
precisam ser positivos. - A sequência
precisa ser decrescente e convergir para zero.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se os termos são positivos. Para
, temos
, que com certeza é positivo, já que o numerador é positivo (4) e o denominador (n+7) nunca será zero quando
.
Agora, precisamos verificar se a sequência
é decrescente. Para isso, vamos comparar
com
:
Sabemos que se
aumenta, o denominador de
também aumenta. Assim, como
, podemos afirmar que
. Portanto,
é decrescente.
Agora, vamos verificar se
converge para zero:
Portanto, a sequência
vai para zero.
Resposta
Como os termos de nossa série alternada são positivos, decrescem e o limite vai a zero, podemos concluir que a série
converge.
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, ii)
, iii)
, iv)
e v)
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
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