Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. sumn=1^infty (-1)^n e^1 / nn^3

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n e^1 / nn^3 é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar entender o conceito de convergência absoluta e aplicar alguns testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da série p.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a série é absolutamente convergente. Para isso, precisamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | (-1)^n e^1 / nn^3 | = sumn=1^infty e^1/nn^3
Agora, vamos simplificar e^1/n. Sabemos que quando n fica muito grande, e^1/n tende a 1, então podemos dizer que para grandes valores de n, e^1/n approx 1. Então, nossa série se comporta como:
sumn=1^infty 1n^3
E essa última série é uma série p com p = 3. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 3 > 1, então sumn=1^infty 1n^3 converge.

Passo 3

Agora que vimos que a série dos valores absolutos converge, isso nos diz que a série original é absolutamente convergente. Portanto, não precisamos checar a convergência condicional.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n e^1 / nn^3 é absolutamente convergente.

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