Resolva a equação diferencial dada
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que foi dada, que é
. Este tipo de equação envolve derivadas e a relação entre diferentes variáveis. Para resolver isso, a gente vai utilizar separação de variáveis. O que precisamos aqui é entender como lidar com
e
separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação. Sabemos que
. Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, a ideia é separar as variáveis
e
. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
e dividir por
:
Agora, temos
e
de um lado, e
e
do outro. Perfeito!
Passo 3
Agora a gente precisa integrar os dois lados. Vamos lá!
Primeiro, integramos o lado esquerdo:
Essa integral não tem uma forma padrão, mas podemos usar a substituição. Vamos chamar
, então
, ou seja,
. A integral vai ficar:
Isso pode ser resolvido por partes, mas, para nossa prática, vamos só dizer que o resultado dessa integral vai ser uma função de
.
Agora, vamos para o lado direito:
Aqui, vamos usar uma substituição de variável que é simples:
, que implica que
. Então a integral do lado direito se torna:
Resposta
Agora, juntando tudo e simplificando, obtemos que a solução da equação diferencial será algo na forma de:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada! Se precisar de mais alguma coisa, é só falar!
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(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
Repita o procedimento para um espelho convexo.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Repita o procedimento para um espelho convexo.