Resolva a equação diferencial dada

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que foi dada, que é . Este tipo de equação envolve derivadas e a relação entre diferentes variáveis. Para resolver isso, a gente vai utilizar separação de variáveis. O que precisamos aqui é entender como lidar com e separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação. Sabemos que . Então, podemos reescrever a equação como:
Agora, a ideia é separar as variáveis e . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por e dividir por :
Agora, temos e de um lado, e e do outro. Perfeito!

Passo 3

Agora a gente precisa integrar os dois lados. Vamos lá!
Primeiro, integramos o lado esquerdo:
Essa integral não tem uma forma padrão, mas podemos usar a substituição. Vamos chamar , então , ou seja, . A integral vai ficar:
Isso pode ser resolvido por partes, mas, para nossa prática, vamos só dizer que o resultado dessa integral vai ser uma função de .
Agora, vamos para o lado direito:
Aqui, vamos usar uma substituição de variável que é simples: , que implica que . Então a integral do lado direito se torna:

Resposta

Agora, juntando tudo e simplificando, obtemos que a solução da equação diferencial será algo na forma de:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada! Se precisar de mais alguma coisa, é só falar!

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Encontre a solução da Equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada:
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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Espelho côncavo. Construa os diagramas e caracterize a imagem (posição, aumento, orientação e tipo) de um objeto colocado em cada uma das seguintes regiões/pontos:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
Repita o procedimento para um espelho convexo.