Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar usar conceitos de convergência de séries e testes de convergência.
Passo 2
Vamos analisar o termo geral da série:
Primeiro, simplificamos a fração dentro da potência:
À medida que cresce, os termos e tendem a zero, então:
Passo 3
Isso nos indica que, para grandes valores de , o termo geral se comporta aproximadamente como:
Esta é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por .
Passo 4
Para séries geométricas da forma , sabemos que elas convergem se o valor absoluto da raz��o for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Portanto, a série geométrica converge.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a série original é absolutamente convergente. Isso significa verificar a convergência da série dos valores absolutos dos termos:
Seguindo a mesma lógica do Passo 2, para grandes :
Então, a série dos valores absolutos também se comporta como uma série geométrica com razão , o que significa que ela converge.