Mostre que não existe o limite .

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite não existe. Aqui, estamos lidando com números complexos, então vamos precisar entender um pouquinho sobre limites no contexto dos números complexos e também sobre o que é o conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser escrito como , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. O conjugado de , denotado por , é .

Passo 3

Então, vamos expressar a fração usando essas definições:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :

Passo 5

Calculando o numerador:
Então, temos:

Passo 6

Podemos separar essa fração em partes reais e imaginárias:

Passo 7

Agora, para analisar o limite quando (ou seja, quando e ), vamos considerar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de 0.

Passo 8

Primeiro caminho: Suponha que (isto é, aproximando-se da origem ao longo do eixo real). Então:
Então, o limite nesse caso é 1.

Passo 9

Segundo caminho: Agora, suponha que (aproximando-se pela imagina). Então:
Então, o limite nesse caso é -1.

Passo 10

Como obtemos valores diferentes (1 e -1) dependendo do caminho que escolhemos para se aproximar de 0, isso significa que o limite não é único.

Resposta

Portanto, não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de 0 por diferentes caminhos.

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