Mostre que não existe o limite
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa mostrar que o limite
não existe. Aqui, estamos lidando com números complexos, então vamos precisar entender um pouquinho sobre limites no contexto dos números complexos e também sobre o que é o conjugado de um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser escrito como
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. O conjugado de
, denotado por
, é
.
Passo 3
Então, vamos expressar a fração
usando essas definições:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Passo 5
Calculando o numerador:
Então, temos:
Passo 6
Podemos separar essa fração em partes reais e imaginárias:
Passo 7
Agora, para analisar o limite quando
(ou seja, quando
e
), vamos considerar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de 0.
Passo 8
Primeiro caminho: Suponha que
(isto é, aproximando-se da origem ao longo do eixo real). Então:
Então, o limite nesse caso é 1.
Passo 9
Segundo caminho: Agora, suponha que
(aproximando-se pela imagina). Então:
Então, o limite nesse caso é -1.
Passo 10
Como obtemos valores diferentes (1 e -1) dependendo do caminho que escolhemos para
se aproximar de 0, isso significa que o limite não é único.
Resposta
Portanto,
não existe porque valores diferentes são obtidos ao se aproximar de 0 por diferentes caminhos.
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Determine as funções elementares
e
de modo que
, quando
é uma função real dada por uma das leis abaixo:
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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