Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a função é contínua no conjunto dos números complexos . Para isso, vamos trabalhar com o conceito de continuidade em funções de variáveis complexas. Vamos precisar da definição de continuidade no contexto dos números complexos e de como aplicar limites para verificar essa continuidade.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de continuidade para funções de uma variável complexa. Dizemos que uma função é contínua em um ponto se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Basicamente, isso significa que pequenos aumentos em resultam em pequenos aumentos em .
Passo 3
Vamos aplicar essa definição na função . Suponha que seja um ponto qualquer em . Então, .
Passo 4
Agora, consideremos . Então, . Vamos calcular a diferença :
Usando a propriedade do módulo, temos:
Passo 5
Observamos que . Para garantir que , basta escolher . Assim, sempre que , teremos .