Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos lá! Você me perguntou para determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente à convergência de séries de termos reais. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos como teste da convergência absoluta e comparação com séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Sabemos que a função seno, , sempre retorna valores entre -1 e 1, ou seja, . Isso significa que o valor absoluto de nunca vai passar de 1.

Passo 3

Com isso em mente, podemos considerar o valor absoluto do termo geral da série: . Isso simplifica a nossa análise para comparar com a série .

Passo 4

A série é um exemplo clássico de uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Portanto, é convergente.

Passo 5

Usando o Teste da Comparação, já que e converge, podemos concluir que a série original também converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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