Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para gente descobrir se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e aplicar alguns testes de convergência, como o Teste da Razão. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que a gente ignora o sinal negativo e verifica a convergência da série dos valores absolutos:
Passo 3
Agora, para testar a convergência dessa série, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil quando os termos da série envolvem fatorias ou potências. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se ou diverge, e se , o teste não é conclusivo.
Passo 4
Vamos calcular essa razão para a nossa s��rie:
Então,
Passo 5
Simplificando a expressão:
Expandindo o numerador:
E o denominador já está expandido. Para encontrar o limite quando , dividimos cada termo por :
Passo 6
O limite que é maior que 1. Segundo o Teste da Razão, se , a série dos valores absolutos diverge. Portanto, a série original não é absolutamente convergente.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a série é condicionalmente convergente. Para isso, observamos que a série original tem termos alternados (devido ao ). Podemos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos decrescem em módulo para zero, a série converge.
Vamos considerar:
Precisamos verificar se e se é decrescente.
Já vimos que:
Além disso, é decrescente para grande o suficiente, já que o fatorial no denominador cresce muito mais rápido que o numerador.