Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
  • sumn=1^infty n5^n
  • sumn=1^infty 10^n(n+1) cdot 4^2 n+1
  • sumn=1^infty cos (n pi / 3)n!
  • sumn=1^infty(n^2+12 n^2+1)^n
  • sumn=1^infty(1+1n)^n^2
  • sumn=1^infty n^100 100^nn!

Passo 1

Vamos analisar a série . Aqui, estamos lidando com uma série infinita envolvendo uma sequência que tem no numerador e no denominador. Para determinar se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge, vamos precisar entender sobre séries geométricas e o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, observamos que é uma sequência onde o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce linearmente. Isso sugere que a série pode convergir, mas vamos formalizar isso.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo fatoriais ou exponenciais. Calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty (n+1)/5^n+1n/5^n = limn to infty n+15n = 15

Passo 4

Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutemente. Isso significa que a série converge, e mesmo se tomarmos o valor absoluto dos termos, ela ainda converge.

Passo 5

Agora, vamos analisar a série . Aqui temos uma combinação de exponenciais no numerador e denominador, além de um termo polinomial.

Passo 6

Primeiro, simplificamos a expressão para facilitar a análise:
10^n(n+1) cdot 4^2n+1 = 10^n(n+1) cdot 4 cdot (4^2)^n = 10^n4(n+1) cdot 16^n = 10^n4(n+1) cdot (16)^n = 10^n4(n+1) cdot 16^n = 14(n+1) ( 1016 )^n
1016 = 58 < 1

Passo 7

Observamos que é uma série geométrica com razão , e o termo diminui com .

Passo 8

Utilizamos o Teste da Série Geométrica e o Teste da Comparação. Como converge e não interfere na convergência, a série original também converge absolutamente.

Passo 9

Vamos agora para a série . Aqui temos o cosseno de um ângulo que depende de no numerador e um fatorial no denominador.

Passo 10

Sabemos que cresce muito rapidamente, muito mais rápido que qualquer potência ou função trigonométrica. Além disso, oscila entre -1 e 1.

Passo 11

Aplicamos o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty |cos((n+1)pi/3)|/(n+1)!|cos(npi/3)|/n! = limn to infty |cos((n+1)pi/3)||cos(npi/3)| cdot 1n+1 = 0

Passo 12

Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Passo 13

Agora, vamos analisar a série . Aqui temos uma sequência com uma base que depende de elevada a .

Passo 14

Primeiro, simplificamos a expressão dentro da potência:
n^2+12n^2+1 = 1 + 1n^22 + 1n^2 approx 12 quando n é grande é

Passo 15

Então, para grandes , temos aproximadamente , que é uma série geométrica com razão , que converge.

Passo 16

Para formalizar, usamos o Teste da Razão:
Isso tende a L = limn to infty (n^2+2n+12(n^2+2n+1)+1)^n+1(n^2+12n^2+1)^n = limn to infty (n^2+2n+22n^2+4n+3) cdot (n^2+12n^2+1)^n , confirmando a convergência.

Passo 17

Vamos analisar a série . Aqui temos uma expressão que cresce rapidamente devido ao no expoente.

Passo 18

Sabemos que tende a quando cresce. Então, .

Passo 19

Assim, a série se comporta aproximadamente como , que é uma série geométrica com razão , e sabemos que isso diverge.

Passo 20

Formalmente, usando o Teste da Razão:
Isso tende a infinito, indicando divergência.

Passo 21

Por fim, vamos analisar a série . Aqui temos um termo com multiplicado por e dividido por .

Passo 22

Observamos que cresce mais rápido que qualquer potência de ou exponencial de base fixa como . Mesmo com o termo , o fatorial vai dominar.

Passo 23

Aplicamos o Teste da Razão:

Passo 24

Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Resumo das Respostas

  1. Absolutamente Convergente
  2. Absolutamente Convergente
  3. Absolutamente Convergente
  4. Absolutamente Convergente
  5. Divergente
  6. Absolutamente Convergente

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