Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar a série . Aqui, estamos lidando com uma série infinita envolvendo uma sequência que tem no numerador e no denominador. Para determinar se essa série converge absolutamente, condicionalmente ou diverge, vamos precisar entender sobre séries geométricas e o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, observamos que é uma sequência onde o denominador cresce exponencialmente enquanto o numerador cresce linearmente. Isso sugere que a série pode convergir, mas vamos formalizar isso.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo fatoriais ou exponenciais. Calculamos o limite:
Passo 4
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutemente. Isso significa que a série converge, e mesmo se tomarmos o valor absoluto dos termos, ela ainda converge.
Passo 5
Agora, vamos analisar a série . Aqui temos uma combinação de exponenciais no numerador e denominador, além de um termo polinomial.
Passo 6
Primeiro, simplificamos a expressão para facilitar a análise:
Passo 7
Observamos que é uma série geométrica com razão , e o termo diminui com .
Passo 8
Utilizamos o Teste da Série Geométrica e o Teste da Comparação. Como converge e não interfere na convergência, a série original também converge absolutamente.
Passo 9
Vamos agora para a série . Aqui temos o cosseno de um ângulo que depende de no numerador e um fatorial no denominador.
Passo 10
Sabemos que cresce muito rapidamente, muito mais rápido que qualquer potência ou função trigonométrica. Além disso, oscila entre -1 e 1.
Passo 11
Aplicamos o Teste da Razão:
Passo 12
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.
Passo 13
Agora, vamos analisar a série . Aqui temos uma sequência com uma base que depende de elevada a .
Passo 14
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da potência:
é
Passo 15
Então, para grandes , temos aproximadamente , que é uma série geométrica com razão , que converge.
Passo 16
Para formalizar, usamos o Teste da Razão:
Isso tende a , confirmando a convergência.
Passo 17
Vamos analisar a série . Aqui temos uma expressão que cresce rapidamente devido ao no expoente.
Passo 18
Sabemos que tende a quando cresce. Então, .
Passo 19
Assim, a série se comporta aproximadamente como , que é uma série geométrica com razão , e sabemos que isso diverge.
Passo 20
Formalmente, usando o Teste da Razão:
Isso tende a infinito, indicando divergência.
Passo 21
Por fim, vamos analisar a série . Aqui temos um termo com multiplicado por e dividido por .
Passo 22
Observamos que cresce mais rápido que qualquer potência de ou exponencial de base fixa como . Mesmo com o termo , o fatorial vai dominar.
Passo 23
Aplicamos o Teste da Razão:
Passo 24
Como , pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.