De um exemplo de função f: R^2 R tal que lim (x, y) (1,2) f(x, y)=3 mas f(1,2)=4. A função f escolhida é contínua?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre limites de funções de várias variáveis e continuidade. A pergunta pede para a gente dar um exemplo de uma função que satisfaz duas condições: o limite dela quando se aproxima de é 3, mas o valor da função em é 4. Além disso, devemos responder se essa função é contínua. Para resolver isso, vamos lembrar o que é limite e continuidade em funções de várias variáveis e construir uma função que atende a essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. Dizemos que significa que conforme se aproxima de , os valores de ficam cada vez mais próximos de 3.

Passo 3

Agora, para que o valor da função em seja 4, ou seja, , precisamos que haja uma “descontinuidade” nesse ponto específico, já que o limite é diferente do valor da função ali.

Passo 4

Vamos então construir uma função simples que tenha essa propriedade. Uma forma fácil de fazer isso é definir a função igual a 3 em todos os pontos, exceto em f(x, y) = 3, & se (x, y) neq (1,2) 4, & se (x, y) = (1,2) , onde ela será igual a 4. Assim:

Passo 5

Vamos verificar se essa função atende às condições. Para todo diferente de , , então o limite, quando se aproxima de , será 3, já que os valores estão sempre próximos de 3. Porém, exatamente em , a função vale 4.

Passo 6

Agora, sobre a continuidade: uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, e . Como 3 é diferente de 4, a função não é contínua em .

Resposta

A função escolhida é
f(x, y) = 3, & se (x, y) neq (1,2) 4, & se (x, y) = (1,2)
e ela não é contínua no ponto .

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