De um exemplo de função
tal que
mas
. A função
escolhida é contínua?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre limites de funções de várias variáveis e continuidade. A pergunta pede para a gente dar um exemplo de uma função
que satisfaz duas condições: o limite dela quando
se aproxima de
é 3, mas o valor da função em
é 4. Além disso, devemos responder se essa função é contínua. Para resolver isso, vamos lembrar o que é limite e continuidade em funções de várias variáveis e construir uma função que atende a essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função em um ponto. Dizemos que
significa que conforme
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de 3.
Passo 3
Agora, para que o valor da função em
seja 4, ou seja,
, precisamos que haja uma “descontinuidade” nesse ponto específico, já que o limite é diferente do valor da função ali.
Passo 4
Vamos então construir uma função simples que tenha essa propriedade. Uma forma fácil de fazer isso é definir a função igual a 3 em todos os pontos, exceto em
, onde ela será igual a 4. Assim:
Passo 5
Vamos verificar se essa função atende às condições. Para todo
diferente de
,
, então o limite, quando
se aproxima de
, será 3, já que os valores estão sempre próximos de 3. Porém, exatamente em
, a função vale 4.
Passo 6
Agora, sobre a continuidade: uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso,
e
. Como 3 é diferente de 4, a função não é contínua em
.
Resposta
A função escolhida é
e ela não é contínua no ponto
.
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