Seja . Mostre que a série converge para todos os valores de , mas que a série de derivadas diverge quando um inteiro. Para quais valores de a série converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série formada por . Precisamos mostrar que a série converge para qualquer valor de . Além disso, temos que olhar para a série das derivadas e mostrar que ela não converge quando (com inteiro). Por fim, precisamos descobrir para quais valores de essa série de derivadas realmente converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries e derivadas de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série . Sabemos que para qualquer e . Então, podemos comparar essa série com .
Passo 3
A série é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.
Passo 4
Como e converge, pela Comparação Direta, a série também converge para qualquer .
Passo 5
Agora, vamos para a série das derivadas: . Primeiro, precisamos derivar .
A derivada de em relação a é:
Então, a série das derivadas é:
Passo 6
Vamos analisar a convergência dessa série. Para , onde é inteiro, temos:
Então, a série das derivadas fica:
Essa é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Portanto, quando , a série não converge.
Passo 7
Para descobrir para quais valores de a série das derivadas converge, vamos usar o Teste da Convergência Absoluta. Observamos que:
Mas sabemos que diverge. Então, a convergência depende do comportamento específico de .
Se não for constantemente 1 ou -1, a série pode convergir condicionalmente. De fato, pela Série Alternada de Dirichlet, se não for múltiplo de , a série converge.
Resposta
Portanto, a série converge para todo . A série das derivadas diverge quando é múltiplo de (ou seja, com inteiro), mas converge para todos os outros valores de .