Seja fn(x)=(sin n x) / n^2. Mostre que a série sum fn(x) converge para todos os valores de x, mas que a série de derivadas sum fn^prime(x) diverge quando x=2 n pi, n um inteiro. Para quais valores de x a série sum fn^prime(x) converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série formada por . Precisamos mostrar que a série converge para qualquer valor de . Além disso, temos que olhar para a série das derivadas e mostrar que ela não converge quando (com inteiro). Por fim, precisamos descobrir para quais valores de essa série de derivadas realmente converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries e derivadas de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série . Sabemos que para qualquer e . Então, podemos comparar essa série com .

Passo 3

A série é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se . Como , a série converge.

Passo 4

Como e converge, pela Comparação Direta, a série também converge para qualquer .

Passo 5

Agora, vamos para a série das derivadas: fn^prime(x) = n cos(nx)n^2 = cos(nx)n . Primeiro, precisamos derivar sum fn^prime(x) = sum cos(nx)n .
A derivada de em relação a é:
Então, a série das derivadas é:

Passo 6

Vamos analisar a convergência dessa série. Para cos(n cdot 2kpi) = cos(2kpi n) = 1 , onde sum 1n é inteiro, temos:
Então, a série das derivadas fica:
Essa é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Portanto, quando , a série não converge.

Passo 7

Para descobrir para quais valores de | cos(nx)n | <= 1n a série das derivadas converge, vamos usar o Teste da Convergência Absoluta. Observamos que:
Mas sabemos que diverge. Então, a convergência depende do comportamento específico de .
Se não for constantemente 1 ou -1, a série pode convergir condicionalmente. De fato, pela Série Alternada de Dirichlet, se não for múltiplo de , a série converge.

Resposta

Portanto, a série converge para todo . A série das derivadas diverge quando é múltiplo de (ou seja, com inteiro), mas converge para todos os outros valores de .

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