Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial onde a equação diferencial é $ y’ = x y $ e a condição inicial é $ y(0) = 1 $. Nesse exercício, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais separáveis e integração. Precisamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para conseguir integrar e encontrar a solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação $ y’ = x y $. Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, a taxa de variação de $ y $ com respecta a $ x $. A equação nos diz que essa taxa de variação é igual a $ x $ vezes $ y $.
Passo 3
Como a equação é separável, podemos rearranjá-la para separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por $ y $ e multiplicando por $ dx $:
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Integramos o lado esquerdo com respeito a $ y $ e o lado direito com respeito a $ x $:
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 6
Para resolver para $ y $, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ K $:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ K $:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: