Resolva o problema de valor inicial.
y^prime=x y, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial onde a equação diferencial é $ y’ = x y $ e a condição inicial é $ y(0) = 1 $. Nesse exercício, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais separáveis e integração. Precisamos separar as variáveis $ y $ e $ x $ para conseguir integrar e encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação $ y’ = x y $. Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, a taxa de variação de $ y $ com respecta a $ x $. A equação nos diz que essa taxa de variação é igual a $ x $ vezes $ y $.

Passo 3

Como a equação é separável, podemos rearranjá-la para separar os termos que envolvem $ y $ dos que envolvem $ x $. Vamos fazer isso dividindo ambos os lados por $ y $ e multiplicando por $ dx $:
y

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. Integramos o lado esquerdo com respeito a $ y $ e o lado direito com respeito a $ x $:
y

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
ln|y| = x^22 + C
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 6

Para resolver para $ y $, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
y
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ K $:
y = e^x^22 + C = e^C cdot e^x^22

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ K $:
y(0) = 1

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(x) = e^x^22

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