Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que a gente consegue ao girar a região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $ em torno do eixo $ x $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente o método de discos ou anéis (washers) para calcular volumes de revolução. Vamos precisar entender onde as curvas se intersectam e usar a fórmula apropriada para integrar e achar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $ se encontram. Isso significa resolver a equação $ x = x^2 $.
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Portanto, as curvas se intersectam nesses pontos.
Passo 3
Agora, vamos visualizar como é a região que vamos girar. Para $ x $ entre 0 e 1:
- A curva $ y = x $ está acima de $ y = x^2 $, porque $ x > x^2 $ nesse intervalo.
Isso significa que quando giramos essa região em torno do eixo $ x $, teremos a forma de um sólido com um “buraco” no meio, parecido com um anel. Esse tipo de sólido é chamado de “anel” ou “washer”.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos usar o método dos discos/aneles. A fórmula geral para o volume $ V $ quando giramos em torno do eixo $ x $ é:
Aqui, $ f(x) $ é a função de maior valor (a mais externa) e $ g(x) $ é a função de menor valor (a mais interna) no intervalo de integração de $ a $ a $ b $.
Passo 5
No nosso caso:
- $ f(x) = x $ (a função linear)
- $ g(x) = x^2 $ (a função quadrática)
- Os limites de integração são de $ a = 0 $ até $ b = 1 $
Substituindo na fórmula, temos:
Passo 6
Vamos agora integrar $ x^2 - x^4 $ de 0 a 1:
Subtraindo as duas integrais:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos o resultado da integração por $ \pi $ para encontrar o volume:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $ em torno do eixo $ x $ é $ \frac{2\pi}{15} $ unidades cúbicas.