Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x e y=x^2 em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que a gente consegue ao girar a região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $ em torno do eixo $ x $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente o método de discos ou anéis (washers) para calcular volumes de revolução. Vamos precisar entender onde as curvas se intersectam e usar a fórmula apropriada para integrar e achar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $ se encontram. Isso significa resolver a equação $ x = x^2 $.
y = x
Então, as soluções são $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Portanto, as curvas se intersectam nesses pontos.

Passo 3

Agora, vamos visualizar como é a região que vamos girar. Para $ x $ entre 0 e 1:
  • A curva $ y = x $ está acima de $ y = x^2 $, porque $ x > x^2 $ nesse intervalo.
Isso significa que quando giramos essa região em torno do eixo $ x $, teremos a forma de um sólido com um “buraco” no meio, parecido com um anel. Esse tipo de sólido é chamado de “anel” ou “washer”.

Passo 4

Para calcular o volume, vamos usar o método dos discos/aneles. A fórmula geral para o volume $ V $ quando giramos em torno do eixo $ x $ é:
V
Aqui, $ f(x) $ é a função de maior valor (a mais externa) e $ g(x) $ é a função de menor valor (a mais interna) no intervalo de integração de $ a $ a $ b $.

Passo 5

No nosso caso:
  • $ f(x) = x $ (a função linear)
  • $ g(x) = x^2 $ (a função quadrática)
  • Os limites de integração são de $ a = 0 $ até $ b = 1 $
Substituindo na fórmula, temos:
f(x) = x

Passo 6

Vamos agora integrar $ x^2 - x^4 $ de 0 a 1:
x^2 - x^4
integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
Subtraindo as duas integrais:
integral0^1 x^4 , dx = [ x^55 ]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o resultado da integração por $ \pi $ para encontrar o volume:
pi

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas $ y = x $ e $ y = x^2 $ em torno do eixo $ x $ é $ \frac{2\pi}{15} $ unidades cúbicas.

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